*.下列命题中是真命题的是(　　)A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点3.(多选题)(2022重庆缙云教育联盟模拟)设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ0)的两条切线,切点分别为A,B,给出下列四个结论:①00),与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0.2.过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).3.过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)和x2+y2+D2x+E2y+F2=0.为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2,可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)·y+(F1-F2)]=0.2.BD　根据题意得,圆Ck的圆心坐标为(k-1,3k),k∈N


√2k2,圆Ck+1:圆心为(k+1-1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径R=
√2(k+1)2,两圆的圆心距d=
22
(k−1−k)+(3k−3k−3)=R0,1-r=
√√
*,R-r>d,故Ck含于Ck+1之中,所以A错误;当k取无穷大时,可以认为所有直线都与圆相交,所以C错误;将(0,0)代入圆的方程,可得(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(k∈N
2k2=22k+,2对任意的k∈N
√2(k+1)2-√√√
*),因为等式左边为奇数,右边为偶数,故不存在k∈N
*使此式成立,即所有的圆均不经过原点,所以D正确.故选BD.3.ABC　易知点(0,2)到M中每条直线的距离d=
1
22
cosθ+sin2=1,即M中的每条直线都是圆x2+(y-2)θ=1的切线,所以存在圆心为(0,2),半径大于1的圆与M中所有直线均相交,故A正确;由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径小于1的圆与M中所有直线均不相交,故B正确;由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径等于1的圆与M中所有直线均相切,故C正确;因为M中的直线与以(0,2)为圆心,1为半径的圆相切,所以不妨取M中的直线AB,AC,BC,DE,它们围成正三角形ADE与正三角形ABC,如图,△ABC与△ADE的面积不相等,故D错误.故选ABC.4
√
圆Ck:圆心为(k-1,3k),半径r=


¿(a−a)cosθ+(b−b)sinθ−r|
22
√cosθ+sin=r,即此切线系中的每条直线都是圆(x-a)2+(y-b)2=rθ2的切线.4.A　对于①②,由题可知圆M的圆心为M(1+cos θ,2+sin θ),半径r=1,直线l的方程可以写成y=k(x-1)+2,易知直线l过定点(1,2),记A(1,2),因为点A在圆上,所以直线l与圆相切或相交,故对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点,①正确,②错误.对于③,由以上分析知不存在实数k与θ,直线l和圆M相离,③错误.对于④,当直线l与圆M相切时,点A恰好为直线l与圆M的切点,故直线AM与直线l垂直,当k=0时,直线AM与x轴垂直,则1+cos θ=1,即cos θ=0,解得θ=k'π+π2(k'∈Z),故存在θ使得直线l与圆M相切;当k≠0时,若直线AM与直线l垂直,则cos θ≠0,直线AM的斜率kAM=
2+sinθ−2sinθ
=
1+cosθ−1cosθ=tan θ,5
知识拓展　圆的切线系方程直线方程(x-a)cos θ+(y-b)sin θ=r(其中a,b,r均为实常数,且r>0,θ∈R)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆的切线系.事实上,设点(a,b)到此直线的距离为d,易得d=


|kcosθ−sinθ|
2
k+,1令θ=0,则当k=0时,d=0;当k≠0时,d=
√
|k|
2
√k+,r2,又r>0,所以0√2,故①错误;若△PAB为直角三角形,则四边形PACB是边长为r的正方形,可得|PC|=
22
2r=(2+2)+(2+2)=4判,解得r=4,故②正确;由PA⊥AC,PB⊥BC及四点共圆的2定可得P,A,C,B是以PC为直径的圆上四点,又线段PC的中点为(0,0),|PC|=4
√√√
√2,所以所求圆的方程为x2+y2=8,故③错误;易知△PAB的外接圆和圆C相交于点A,B,由x2+y2=8和(x+2)2+(y+2)2=r2两式相减,可得4x+4y+16-r2=0,此方程即为直线AB的方程,故④正确.6
所以kAM·k=-1,即tan θ=-1k,对任意的k≠0,均存在实数θ,使得tan θ=-1k,从而使得直线AM与直线l垂直.综上所述,对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,④正确.对于⑤,点M(1+cos θ,2+sin θ)到直线l的距离d=


577
x+y+
22=0解析　要使圆的面积最小,则所求圆以已知两相交圆的公共弦为直径.设所求圆的方程为4x2+y2-4x+2y+1+λ(x2+y2-6x)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2-(4+6λ)x+2y+1=0,其圆心为
λ2+3λ1+λ,−11+(),将两已知圆的方程作差可得相交弦所在直线的方程为2x+2y+1=0,将
1
−
,2+3λ1+λ(−11+λx代入2)+2y+1=0,得2×2×+3λ1+λ+2(+1=0,解得λ=-37,故所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+1-37(x2+y2-6x)=0,即x2+y2-52x+72y+74=0.7.答案　x2+y2)=4解析　∵acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0,a≠b,∴(a,a2),(b,b2)都在直线xcos θ+ysin θ-2=0上,故经过两点(a,a2),(b,b2)的直线是xcos θ+ysin θ-2=0,∴点(0,0)到该直线的距离d=¿−2∨¿
1+λ
√cos2θ+sin2θ¿=2,故所求圆的方程为x2+y2=4.7
故选A.6.答案　x2+y2-


1
−,3
(,直线)x+2y-3=0的斜率为-12,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为2,且经过C
2
1
−,3
(垂,所以线段PQ的)直平分线的方程为y-3=2
2
(x+12即,)y=2x+4,由
{x+2y−3=0,y=2x+4,得圆x=−1,y=2,所以线段PQ的中点M的坐标为(-1,2).(2)设过直线x+2y-3=0与圆x2+y2+x-6y+m=0交点的{的方程为x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0,即x2+y2+(1+λ)x+2(λ-3)y+m-3λ=0.(*)依题意知,O在以PQ为直径的圆上,则圆心
1+λ
−,3−λ
(在直线x+2y-3=0上,)则-1+λ2+2(3-λ)-3=0,解得λ=1.又O(0,0)满足方程(*),所以m-3λ=0,故m=3.所以圆C:x2+y2+x-6y+3=0,其半径为52,所以圆C的面积为π·
2
(522=)25π4.8
8.解析　(1)易知圆C的圆心为C