第三章　圆锥曲线的方程3.3　抛物线3.3.1　抛物线及其标准方程基础过关练题组一　抛物线的定义及应用1.在平面直角坐标系中,与点(1,2)和直线x+y-3=0的距离相等的点的轨迹是(　　)A.直线　　　　B.抛物线C.圆　　　　D.双曲线2.(2023江西赣州赣县三中月考)已知动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,则此动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A.y2=2x　　　　B.y2=4xC.y2=-2x　　　　D.y2=-4x3.点M到点F(-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离小2,则点M的轨迹方程为(　　)A.y2=16x　　　　B.y2=-16xC.y2=24x　　　　D.y2=-24x4.(2022广东深圳期末)一个动圆P与定圆F:(x-3)2+y2=4相外切,且与直线l:x=-1相切,则动圆圆心P的轨迹方程为(　　)A.y2=12x　　　　B.y2=8xC.y2=6x　　　　D.y2=4x1


¿
¿3x+4y+12∨
5
22
(x−1)+(y−2)=,则点P的轨迹是　　　　　.(填圆锥曲线的类型) 6.动点¿M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动点M(x,y)的轨迹方程.题组二　抛物线的标准方程的应用7.(2023上海复旦附中期中)抛物线y2=x的准线方程为(　　)A.x=12B.x=14C.x=-12D.x=−148.(2023浙江湖州中学期中)抛物线x2=-4y的焦点坐标是(　　)A.(0,-2)　　　　B.(-1,0)C.(0,2)　　　　D.(0,-1)9.(2023江苏扬州期中)抛物线y=2x2的准线方程是(　　)A.x=-1　　　　B.x=-122
√
5.(2023河南郑州外国语学校期中)若点P(x,y)满足方程


9
23
C.y=-12D.y=−1810.(多选题)(2023山东滨州实验中学)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为(　　)A.y2=x　　　　B.x2=8yC.x2=-8y　　　　D.y2=-8x11.(2023山西部分高中期中联考)有一种卫星接收天线如图1所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线,如图2,已知该卫星接收天线的口径AB为a米,深度MO为b米,信号处理中心F位于焦点处,以顶点O为坐标原点,建立平面直角坐标系Oxy,则该抛物线的标准方程为()　　A.y2=a24bxB.y2=a22bxC.x2=4b2ayD.x2=2b2ay12.(2023江苏扬州大学附属中学期中)F是抛物线y2=2x的焦点,A、B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.4　　　　B.


√2x　　　　B.y2=8xC.y2=4
√2x或y2=8x　　　　D.y2=4x14.(2022河南新乡月考)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,点P在C上,直线PF交x轴于点Q,若
⃗⃗
PF=3BQ,则点P到准线l的距离为(　　)A.6　　F.5　　C.4　　D.315.(2023河南确山一高期中)抛物线y=1mx2(m≠0)的焦点坐标是　. 16.(2023北京四中顺义校区期中)请写出一个与双曲线x2-y23=1有相同焦点的抛物线方程:　　　　　　　　. 17.(2023北京对外经济贸易大学附属中学期中)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直于x轴,垂足为N.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　　;△FMN的面积为　　　　. 18.(2022湖南师大附中期中)苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线形,如图1,两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥4
C.3　　　　D.7213.(2023江西吉安第一中学月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l上有两点A,B,若△FAB为等腰直角三角形且面积为8,则抛物线C的标准方程是(　　)A.y2=4


2C.2D　　3.43.(2023黑龙江鹤岗一中月考)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若
√√
FA+⃗⃗FB+|FC=0,⃗则¿FA∨+⃗⃗¿∨+FB⃗FC|=(　　)A.6　　B.4　　C.3　　D.25
连接,在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一个窗户,两个窗户的水平距离为30 m,如图2,求此抛物线顶端O到连桥AB的距离.图1　　　　　　　　　　图2能力提升练题组一　抛物线及其标准方程的应用1.(2022四川成都期中)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-2x-3=0相切,则p的值为　(　　)A.12　　B.1　　C.2　　D.42.(2023江苏徐州睢宁期中)已知抛物线D:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在D上,过点P作准线l的垂线,垂足为A,若|PA|=|AF|,则|PF|=()A.2　　B.2


√,则(　　)A.△ABF是等边三角形B.|BF|=3C.点F到准线的距离为33D.抛物线C的方程为y2=6x6.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,点A的坐标为(2,6),点P是C上的任意一点,若当P在点P1处时,|PF|-|PA|取得最大值,当P在点P2处时,|PF|-|PA|取得最小值,则P1,P2两点间的距离是　　　　. 7.(2023湖北宜城第一中学月考)如图,抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆F:x2+y2-2x=0,M(x,y)为抛物线上一点,且x∈[1,3],过M作圆F的两条切线,切点分别为A,B,求|AB|的取值范围.6
°,且△ABF的面积为9
4.(2022浙江宁波效实中学期中)已知A(4,5),抛物线x2=8y的焦点为F,P为抛物线上与直线AF不共线的点,则△PAF周长的最小值为()A.18　　B.13　　C.12　　D.75.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,B在D上方.若∠ABD=90


⃗⃗
OM·(的取值范围.9.已知点AON6,0),点P在抛物线y2=16x上运动,点B在曲线(x-4)2+y2=1上运动,求¿PB∨¿¿PA¿2¿的最小值.题组二　抛物线的实际应用10.(2023湖南期中联考)党的二十大报告指出,必须坚持在发展中保障和改善民
生,不断实现人民对美好生活的为向往.响应中央号召,某社
区决定在现有的休闲广场内修的圆形水建一个半径为4 m池来规划喷泉景观.设
计如下:在水池中心竖直安装一根高出水面2 m的喷水管(水
管半径忽略不计),它喷出的水柱呈抛物线形,要求水柱在与水池中心的水平距离为
3
达且水到最高,柱刚好落在池内,则水)的最大高度为(　　柱A.83mB.94 m7
2 m处
8.在平面直角坐标系Oxy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线x=3与抛物线C交于A,B两点,|AF|=4,圆E为△FAB的外接圆,直线OM与圆E切于点M,点N在圆E上,求


拱桥,在一次暴雨前后桥下水位之差为1.5 m,暴雨后
的水面宽为2 m,暴雨来临之前的水面宽为4 m,求暴雨后的水面离桥
拱..12顶的距离如图所示,高
脚杯的轴截面上部为抛物线,往杯中缓慢倒水,当杯中的水深为2 cm时,水面
宽度为6 cm,当水面再求水面1 c上升时,m宽度.8
C.258mD.145 m11.已知一个抛物线形


与分层梯度解析第三章式　圆锥曲线的方程3.3　抛物线3.3.1　抛物线及其标准方程基础过关练1.A2.B3.B4.A7.D8.D9.D10.AC11.A12.D13.C14.B1.A　
因,点(1为2)在直线x+y-3=0上,所以所求点的轨迹是过点(1,2)且与直线x+y-3=0垂直的直线,故
选A.易
错警F　到定点示和定直线l距离相等的点的轨迹不一定是抛物线:①F∉l时,为抛物线;②F∈l时,为直线.2.B　
因,M经过定点A(1,0)为动圆且和直线x=-1相切,所以此动圆圆心M到点A(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,即M的轨迹为以点A(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),所以p2=1,解
得p=2,故轨迹方程为y2=4x.故B.3.选B　设点M的坐标为(x,y).由题意
可于点M到点F的距离等知它到直线x=4的距离.根据
抛物线的定义,点M的轨迹是以F(-4,0)为焦点的抛物线,因
为焦点在x轴的负轴上,所以设抛物线的方程为y2=-2半px(p>0),所以p2=4,得p=8.故
故M的轨迹方程为y2=-16x.点选B.9
答案


根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可,|PF|-2=r得,d=r,∴|PF|-d=2,∴|PF|=d+2,即P到F(3,0)的距离与P到直线x=-3的距离相等,∴动圆圆心P的轨迹为以(3,0)为焦点的抛物线,∴所求轨迹方程为y2=12x.故
选A.5.答案
　抛物线解析
¿
¿3x+4y+12∨
5
√32+42
　由
22
(x−1)+(y−2)=¿,得¿3x+4y+12∨¿
√
√(x−1)2+(y−2)2=¿,易知等
式左边表(点P示x,y)到点(1,2)的距离,右边表线点P(x,y)到直示3x+4y+12=0的距离,即
点P(x,y)到点(1,2)的距离与其到直线3x+4y+12=0的距离相等,又因
为点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上,所以由抛物线的定义知,点P的轨迹是以(1,2)为焦点,直线3x+4y+12=0为准线的抛物线.6.解析
　当x≥0时,∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,∴动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,此抛物线的方程为y2=8x(x≥0);当x0,则


上,得动点M的轨迹方程为y=0(x0)或x2=-2py(p>0),∵过点(4,-2),∴4=2p·4或16=-2p·(-2).∴2p=1或2p=8.故
所求的抛物线方程为y2=x或x2=-8y.故11AC.选.A　设抛物线方程为y2=2px(p>0),∵点A
(b,a2在抛物线y2=2px上,∴a2)4=2p×b,∴p=a28b,故
故y2=a24bx.抛物线的标准方程为选A.11
综


(12,0),准线方程为x=-12,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴|AF|+|BF|=x1+
11
+x2+
2∴=8,2x1+x2=7,∴线段AB中点的横坐标为72,∴线段AB的中点到y轴的距离为72,故
选D.13.C　由题意得,当∠AFB=π2时,S△AFB=12×2p×p=8,解
得p=2
√2(舍负);当∠FAB=π2或∠FBA=π2时,S△AFB=12p2=8,解
得p=4(舍负),所以抛物线的标准方程是y2=4
√2x或y2=8x.故
选C.14.B　如图,过点P作x轴的垂线,垂足为N,由题意得F(0,1),l:y=-1,则|OF|=1.易得△QOF∽△QNP,则
¿NP∨¿
¿
¿OF∨
¿
¿QP∨¿=¿
¿
¿QF∨
¿
¿,因
⃗⃗
PF=3,QF所以¿NP∨¿=14¿OF∨¿¿¿QP∨¿=¿¿QF∨¿¿¿
为
⃗PQ∨¿=¿¿
⃗FQ∨¿¿¿,所以|NP|=4,所以点P到准线l的距离为|NP|+1=5.故
选B.12
12.D　∵F是抛物线y2=2x的焦点,∴F


m
0,
　()解析
4
m
0,
故,抛物线的标准方程为x2=my,　由题知焦点坐标为().16.答案
4
　y2=8x(或y2=-8x)解析
　由题意知a2=1,b2=3,∴c=坐a2+b2=2,∴双曲线的焦点√标为(-2,0)或(2,0),设抛物线方程为y2=ax(a≠0),则
aa
=−2或
得a=-8或a=8,∴抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.17.答案
44=2,解
√5解析
　5;4
　因因抛物线的方程为y2=4x,故p=2且F(1,0).为为|MF|=6,所以xM+p2=6,解
5,所以S△FMN=12×(5-1)×2
√
得xM=5,故yM=±2
5=45.18.信
√√
息的内　①“门”提取侧曲线呈抛物线形;②A,B,C,D都在抛物线上;③|CD|=30 m,|AB|=60 m,AB与CD间的距离为150 m.数
学建利　以O为坐标原点建立平面模角坐标系,直用抛物线方程进行
求解.解析
　建立平面直角坐标系,如图所示,13
15.答案


2
15=�