i,j,若分别是x,y,zk,轴正方向上的单位向量=3m2i-+4jk,则
m=(3,-2,4)D.M(-1,1,2),N(1,3,3)两点间的距离为32.(2023河南郑州登封月考)已知点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1,点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为　　　　. 3.(2023湖北荆门一中月考)在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90
°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则线段MN的中点坐标为　　　　. 题组二　空间向量运算的坐标表示1
第一章　空间向量与立体几何1.3　空间向量及其运算的坐标表示1.3.1　空间直角坐标系　1.3.2　空间向量运算的坐标表示基础过关练题组一　空间向量的坐标表示1.(多选题)(2023湖北黄冈红安一中月考)在空间直角坐标系Oxyz中,以下结论正确的是(　　)A.点A(1,3,-4)关于x轴的对称点的坐标为(-1,-3,4)B.点P(-1,2,3)关于Oxy平面对称的点的坐标是(-1,2,-3)C.设


a=(3,5,-1),
b=(2,2,3),则向量2a-3,的坐标为(　　)A.(0,4,-11)　　　　B.(12,16,7)C.(0,16b-7)　　　　D.(12,16,-7)5.(2022河北任丘第一中学月考)设O为坐标原点,M(5,-1,2),A(4,2,-1),若
⃗⃗
OM=B,则点B的坐标为(　　)A.(-1A,3,-3)　　　　B.(9,1,1)C.(1,-3,3)　　　　D.(-9,-1,-1)6.(2022河北石家庄第四中学月考)已知点A,B,C,D的坐标分别为(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(x,5,3),且A,B,C,D四点共面,则x=　　　　. 7.若向量
)=(1,1,2a,,=(1,2,1b)(=(1,1,1),则c-c2a)·,=　　　　. 题组三　利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题8.(2022吉林长春外国语学校月考)如果A(1,5,-1),B(2,4b1),C(a,3,b+2)三点共线,那么a-b=(　　)A.1　　　　B.2　　C.3　　　　D.49.(多选题)(2023湖南怀化月考)已知空间中三点A(2,1,-1),B(1,0,2),C(0,3,-1),则(　　)A.|
⃗
AB∨¿⊥1　　　　B.AB1ACC.cos∠ABC=
√
11
√
19　　　　D.A,B,C三点共线10.在△ABC中,∠C=90
°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k=()A.
−10B.√√102
4.(2023北京首师大附属密云中学月考)已知向量


√5　　　　D.±10√11.(2023辽宁省实验中学月考)已知
⃗OA=(1,2,3),⃗
OB=(2,λ,3),
⃗OC=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是(　　)A.43B.32C.74D.7212.(2022天津河东期中)已知
⃗⃗⃗
,B=(-2,3,5)AAC=(4,1,a),D=(6,b,-2).(1)若四边形ABCDA为平行四边形,求实数a,b的值;(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直,求实数a,b满足的关系式.题组四　利用空间向量的坐标运算求夹角和模13.若向量
-=(1,a2,3),=b(-2,|3,-1),则+2ab|=.2　　)A(
7　　　　B.5　　C.
√
√26D.4214.(2023河南郑州中学月考)√若△ABC的三个顶点分别为A(0,0,
√2),B
√32,12,
√22),则角√A的大小为　　　　. 15.(2022重庆万州第二高级中学月考)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若
(−(,C)-1,0,
⃗⃗⃗
AP=2PB,则|　　　　D|=P. 16.(2023吉林长春外国语学校月考)已知空间向量
a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),
c=(x,2,-1).(1)若
a∥c,求|c|;(2)若
b⊥c,求cos的值.3
C.2


17.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是边AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求正三棱柱的侧棱长;(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.4


a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),则向量
b在向量(上的投影向量是a　　)A.
(43,−23,43　　　　)B.(2,-1,2)C.
242
,−,
(　　　　D.(1,-2,)1)2.(2023河南许昌高级中学月考)已知
333
a=(cos α,-1,sin α),b=(sin α,-1,cos α),则向量
a+b与a-b的夹角为(　　)A.90
　　B.60°.30°C　　°　　.0D°3.(2022河南濮阳范县一中月考)已知向量
a=(1,1,0),=b(-1,0,2),若向量
a+k2与ba+用所成的角为锐角,则实数k的取值范围为　　　　　. 题组二　利b空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 4.(2022福建A佳大联考)已知空间向量
m=(-1,x,2),=(1n,3,y),其中x>0,y>0,若
m⊥,则xyn的最大值是(　　)A.
6111
√
B.C.D.
6612,5.如图24在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则直线A1M与DN的位置关系是(　　)5
能力提升练题组一　空间向量的坐标运算1.(2023广东佛山南海中学月考)已知空间向量


1
V=
P−AAD
1
3B.点P必在线段B1C上C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D6
A.平行　　　　B.垂直C.异面垂直　　　　D.异面不垂直6.(2022广东东莞四中期中)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC的中点,N为侧面DCC1D1内的动点(包括边界),若MN⊥A1C,则三棱锥N-AA1D的体积的最小值为(　　)A.110B.112C.114D.1167.(多选题)(2022湖北黄冈麻城二中期中)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上运动(包括边界),并且总是保持AP⊥BD1,则以下结论正确的是(　　)A.


⃗⃗⃗BC1与B⃗M的夹角的最大值为(　　)A.30
BC·BM=1,则
1
　　B.45°.60°　　C°　　D.759°.(2022山东省实验中学月考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π2,AB=AC=AA1=1,G,E分别为A1B1,CC1的中点,D,F分别为线段AC,AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为(　　)A.
55
√√
,1B.,1
[)[]C.
55
2√52√5
,1D.,1
()[202210.()河北石家庄十七中月考)设全体空间向量组成的集合为V,
55
a=(a1,a2,a3)为V中的一个单位向量,现建立一个“自变量”是向量,“因变量”也是向量的“向量函数”f(
x):f(-x=)x+2(x·a)a,V∈x.(1)设
13
√
−,0,−
u=(1,0,0),v=((,若)fu)=v,求向量;a(2)对于V中的任意单位向量
22
(,求|fxx)-的最大值和此时|xx和a的夹角.7
题组三　空间向量的夹角和模的问题8.(2023广东肇庆鼎湖中学月考)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是侧面ADD1A1上的一个动点(包括边界),满足


11.(2020山西太原五中月考,)如图,以棱长为1的正方体的三条共顶点的棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.(1)当|PB|=2|AP|,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;(2)当点P是AB的中点,点Q在DC上运动时,探究|PQ|的最小值.8


√(1+1)2+(3−1)2+(3−2)2=3,故D正确.故选BCD.2.答案　(2,-3,1)解析　点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1),点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(-2,3,1),所以点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2,-3,1).3.答案　
(12,1,12)解析　由题意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),所以M(0,1,1),N(1,1,0),9
答案与分层梯度式解析第一章　空间向量与立体几何1.3　空间向量及其运算的坐标表示1.3.1　空间直角坐标系1.3.2　空间向量运算的坐标表示基础过关练1.BCD4.A5.B8.B9.AB10.D11.D13.C1.BCD　点A(1,3,-4)关于x轴的对称点的坐标为(1,-3,4),故A错误;点P(-1,2,3)关于Oxy平面对称的点的坐标为(-1,2,-3),故B正确;易知C正确;M(-1,1,2),N(1,3,3)两点间的距离为


(12,1,12).4.A　由题意可得2
a-3=(6b,10,-2)-(6,6,9)=(0,4,-11).故选A.5.B　设B(x,y,z),由
⃗⃗
OM=得BA(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),∴
{x−4=5,y−2=−1,z+1=2,∴
x=9,
y=1,
{
z=∴点B1.的坐标为(9,1,1).6.答案　3解析　由A,B,C,D四点共面,知∃λ,μ∈R,使得
⃗AB=λμAC⃗+⃗AD,易得
⃗⃗⃗
AB=(1,1,1),,C=(1,A,-1)2AD=(x,4,1),故
{λ+xμ=1,2λ+4μ=1,−λ+μ=1,解得
{x=3,λ=−12,μ=12.7.答案　-2解析　易得
c-2=(0,0,a-1),b=(2,4,2),∴(c-a)·2B=0+0-2=-2.8.b　∵A(1,5,-1),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点共线,∴
⃗⃗
AB=λCB,即(1,-1,2)=λ(a-2,-1,b+1),∴
λ=1,
λ=1,
λ(a−2)=1,
a=3,
{
{
λ(b+1)=2,∴b=,故a-b=21,故选B.9.AB　根据题意,可得
,AB=(-⃗,-1,3)1⃗AC=(-2,2,0),⃗BC=(-1,3,-3).对于A,|
⃗⃗
⃗AB∨¿
AB·2+0=0C=2-A,则10
√1+1+9=11√,A正确;对于B,
则线段MN的中点坐标为


√11
⃗BA∨¿¿BC∨⃗=−1+3+9
√11×√19=√19
⃗BA·⃗BC¿≠
⃗BA,⃗BC>¿
11
√
19,C错误;对于D,由B中的结论知AB⊥AC,所以A,B,C三点不共线,D错误.故选AB.10.D　由题意得
⃗CB=(-6,1,2k),⃗
CA=(-3,2,-k).∵∠C=90
⃗⃗
CB·=-AC6×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0,∴k=±
√10.故选D.11.D　易得
°,∴
⃗⃗
AB=(1,λ-2,0),,C=(3A0,k-3).若OA⊥平面ABC,则
⃗OA⊥⃗AB,⊥⃗OA⃗AC,即
3
⃗OA·⃗AB=1+2(λ-2)=0,·O⃗A⃗AC=3+3(k-3)=0,所以λ=
2,k=2,故λ+k=72.故选D.12.解析　(1)因为
⃗⃗
AB=(-2,3,5),bD=(6,A,-2),且−26≠5−2,所以
⃗⃗⃗⃗⃗
AB,边D不共线.由四A形ABD为平行四边形,C知AC=AB+D,所以(4,1,a)A=(-2,3,5)+(6,b,-2),所以a=3,b=-2.(2)由题意得
BD=⃗⃗AD−AB=(8,b-3,⃗-7).因为四边形ABCD的对角线互相垂直,所以
⃗⃗
BD·=0CA,即32+b-3-7a=0,故7a-b-29=0.13.C　∵
a=(1,-2,3),b=(-2,3,-1),∴
a+2=(-3,b4,1),∴|
√9+16+1=√26,故选C.11
a+2b|=
AB⊥AC,B正确;对于C,cos∠ABC=cos=
a·c
¿.17.解析　(1)设正三棱柱的侧棱长为h.由题意得A(0,-1,0),B(
(3,0,0),C(0,1,0),B1√√3,0,h),C1(0,1,h),则
⃗1BC⃗=(-
AB
1=(√3,1,h),,3,1√h).因为AB1⊥BC1,所以
⃗⃗
AB·BC
√2(负
1=0=-3+1+h21,所以h=
值正去).故舍三棱柱的侧棱长为
√2.(2)由(1)可知
⃗
⃗BC=(-
AB
,3,1√√2¿,√,,130),所以
1=(
⃗⃗
⃗⃗
AB·3+1=C=-B-2,|
AB∨¿6,|CB|=2,所以cos¿−22
√6=−
√66.能力提升练1.A2.A4.D5.C6.B7.BD8.C9.A1.A　由题可知
a·b=6,|量|=3,a向故b在向量上a的投影向量是
a·b
6
2·
a=4(3,−23,43).故选A.2.A　根据题意,
|×(2,9-1,2)=
a¿
a+=(cos bα+sin α,-2,sin ,+cos α)αa-b=(cos α-sinα,0,sin α-cos α),则(
a+b)·(a-向)=(cos2α-sin2α)+(bin2α-cos2α)=0,故s量a+b与-a即b垂直,
它们的夹角为90,故选°A.3.答案　
且≠12
{k∨k>−1k}13
故cos0且a+k2,ba+不共线,∴1-bk+2+4k>0,且
1−k12k
==
12k不成立,解得k>-1且2≠12,∴实数k的取值范围为
1
k∨k>−1且k≠
{}.4.D　由题意得
2
m·=-1n×1+3x+2y=0,即3x+2y=1.因为x>0,y>0,所以1=3x+2y≥2
3x×2xy,解得y≤124,当且
√
仅3x=2y=当12,即x=
11
等号.故选D.5.C　以D为原点,
6,y=4时取
⃗DA,⃗DC,方DD1的⃗向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A1(2,0,2),M(0,1,0),D(0,0,0),N(0,2,1),∴
⃗A1M=(-2,1,-2),
⃗DN=(0,2,1),∴
⃗⃗
AM·=0,∴A1M⊥DNDN,又DN⊂平面DCC1D1,A1M⊄平面DCC1D1,M∈平面DCC1D1,且M∉DN,∴直线A1M与DN异面垂直.故选C.6.B　以D为坐标原点,
1