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224DEF+-
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第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中圆心为(a,b),半径为r.2.圆的一般方程:当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程,表示以 为圆心,   为半径的圆.2.4　圆的方程1 | 圆的标准方程与一般方程知识点必备知识 清单破


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AA
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第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程且 + - >0.说明:对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,①当D2+E2-4Fr(x0-a)2+(y0-b)2>r2 + +Dx0+Ey0+F>0点M在圆内|CM|0)?4.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)一定表示圆吗?5.圆的标准方程和一般方程各有什么特点?6.如果方程x2+y2+2kx+2y+2k2=0表示圆,那么k的取值范围是什么?点A(1,2)与此圆有怎样的位置关系?


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程一语破的1.不一定.当m=0时,方程表示一个点;当m≠0时,方程表示一个圆.2.不是.圆心应为(-2,-2).3.可以.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由原点在圆上得a2+b2=r2≠0,因此过原点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0).4.一定.原方程可化为x2+y2+ax-ay=0(a≠0),因为D2+E2-4F=2a2>0,所以方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)一定表示圆.5.从圆的标准方程可以直接得出圆心与半径,有较强的几何特点.圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,圆心和半径需要通过代数运算才能得出,代数特征更明显.6.由方程表示圆,得(2k)2+22-4×2k2>0,解得-10,故点A在圆外.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程1.几何法利用相关几何性质确定圆心和半径,即可得到圆的标准方程.相关几何性质如下:①圆心与切点的连线垂直于圆的切线;②圆心到切线的距离等于圆的半径;③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;④圆的弦的垂直平分线过圆心;⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与l的交点即为圆心.1 | 圆的方程的求解 定点关键能力 定点破


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程2.待定系数法(1)根据题意设出所求圆的标准方程或一般方程;(2)根据已知条件建立关于参数的方程(组);(3)解方程(组),求出参数的值;(4)将求得的参数的值代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 求符合下列条件的圆的方程:(1)圆心是(4,-1),且过点(5,2);(2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5);(3)经过A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)三点.典例


(54)(21)-++10
2222
)232)(3(aa+-++)232)(5(aa++++
10222222
�()(3),2=---+rab
�
(2)(5),=----+rab
�
�
ab--=,230
�
a=-1,
�
�
b=-2,
�
2
�
r=10,
�
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析    (1)解法一:由题意知,圆的半径为 = ,又圆心是(4,-1),故所求圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=10.解法二:由题可设圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=r2(r>0),把(5,2)代入可得r2=10,故所求圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=10.(2)解法一:设C为圆心.因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).由于圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,即 = ,解得a=-2,因此圆心C的坐标为(-1,-2),半径r= ,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题意得 解得 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.22


---(5)31
2
2(2)--
240,xy++=
�
�
xy--=,230
�1,2,xy=-��=-�22
(12)(23)--+-+10
1640,1+=+++FEDD=-2,
��
��
9230,4-=+++FEDE=2,
��
��
062545,1+=+-+FEDF=-23,
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第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解法三:易得线段AB的中点坐标为(0,-4),kAB= = ,所以弦AB的垂直平分线的斜率为-2,所以弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0.由 解得 所以圆心坐标为(-1,-2),因此圆的半径r= = ,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(3)解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).因为点A,B,C在圆上,所以 解得 


145+
314-
1
2
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.解法二:易得kAB= = ,kAC= =-3.因为kAB·kAC=-1,所以AB⊥AC,所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形,其外心是线段BC的中点,坐标为(1,-1),其外接圆半径r= |BC|=5.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=25.技巧点拨　求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标、半径列方程(组),那么一般选用圆的标准方程;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般选用圆的一般方程.4312-+


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 与圆有关的轨迹问题的求解方法(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.(3)相关点法:找到要求点与相关点的关系,用要求点的相关信息表示出相关点,再代入相关点满足的关系式.2 | 与圆有关的轨迹问题定点


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.典例


yyyy
x+1x-3x+1x-3
1
2
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析    (1)解法一:设C(x,y).由题意可知AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,AC,BC所在直线的斜率存在且y≠0.又kAC= ,kBC= ,所以 · =-1(y≠0),化简得x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).解法二:设C(x,y).由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2+y2-2x-3=0.又A,B,C三点不共线,所以y≠0,即x≠3且x≠-1.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).解法三:设线段AB的中点为D,则D(1,0).由直角三角形的性质知,|CD|= |AB|=2.


xx=-3,2'
�
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yy=2'.
�
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去此圆与x轴的交点).设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1).(2)设M(x',y'),C(x0,y0).由题意得 即 由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上,将(x0,y0)代入,得(2x'-4)2+(2y')2=4,即(x'-2)2+y'2=1(x'≠3且x'≠1).因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).003',20',2xxyy+�=���+�=��00