ABC0,xy++=
�
�
ABC0xy++=
�
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程1.两条直线的位置关系与相应方程组的解(1)利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系.已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,其中A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0,则2.3　直线的交点坐标与距离公式1 | 两条直线的交点坐标知识点必备知识 清单破方程组 的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行111222


;联立直线方程解方程组,若有一组解,则两直线相交①②若两直线斜率都存在且不相等,则两直线相交;
③若l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0), l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0.2.求两相交直线的交点坐标,其关键是解方程组,解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.　　注意:若一条直线的方程是斜截式或易化为斜截式,则常常应用代入消元法解方程组;若直线的方程都是一般式,则常常应用加减消元法解方程组.3.设直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则过l1,l2交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数),然后根据条件求待定系数.
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程(2)两条直线相交的判定方法:


22
()()xxyy-+-22
2121
①此公式与两点的先后顺序无关.原点O(0,0)与任一点P(x,y②)的距离|OP|= .2.点到直线的距离点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离 d= .3.两条平行线间的距离两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2)间的距离 d= .2 | 距离公式知识点
xy+
||AxByC++
00
22
AB+1222
||CC-
AB+
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程　1.两点间的距离已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|= .　　注意:


||kxb+
0
2
1+k
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程知识辨析1.若两直线的方程组成的方程组无解,则两直线位置关系确定吗?2.若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线一定相交吗?3.m为何值时,直线x-y+1=0与x-2my+3=0相交?4.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),当A1B2=A2B1时,直线l1与l2一定没有交点吗?5.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离是不是 ?6.已知某直线的斜率为k(k≠0),那么如何利用斜率k来表示该直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离?


11
211122220,0AxByCAxByC++=��++=�1112220,0AxByCAxByC++=��++=�
||kxyb-+
00
2
1+k
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程一语破的1.确定.两直线平行.2.不一定.两直线的方程组成的方程组有无数组解时,两直线重合.3.m≠ .由1×(-2m)-(-1)×1≠0得m≠ .4.不一定.当A1B2=A2B1且B1C2=B2C1时,方程组 有无数组解,此时直线l1与l2重合;当A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1时,方程组 无解,此时直线l1与l2平行.5.不是.将直线方程化为一般式为kx-y+b=0,所以点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 .


1
yy-
222
1+2121
)()(yxxy-+-1+2k
2121
kxx-
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程6.|P1P2|= = |x2-x1|= |y2-y1|.该公式可以用 =k进行推导,是之后会经常用到的弦长公式.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程1 | 利用坐标法解决平面几何问题定点关键能力 定点破 利用坐标法解决平面几何问题的步骤(1)建立坐标系,尽可能将已知元素放在坐标轴上;(2)用坐标表示有关的量;(3)将几何关系转化为坐标运算;(4)把代数运算结果“翻译”成几何结论.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).典例思路点拨　建立适当的平面直角坐标系,得到相关点的坐标,利用两点间的距离公式解决有关线段长度的问题.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程证明　以D为原点,BC边所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示, 设A(b,c),C(a,0),B(-a,0).因为|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+(-c)2,|AD|2=b2+c2,|DC|2=a2,所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AD|2+|DC|2=a2+b2+c2,所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程　　利用点到直线的距离公式时,一般先分析确定相应的点和直线,再利用公式计算求解.当所给条件不能明显确定所需的点和直线时,可考虑应用待定系数法,有时要结合几何图形的直观性,综合分析解决问题.2 | 点到直线的距离公式的应用定点


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 已知点A(2,-1).(1)求过点A且与原点的距离为2的直线方程;(2)求过点A且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大距离;(3)是否存在过点A且与原点的距离为3的直线?若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由.典例1


|21|--k
2
k+1
3
4
1
2
|5|-
5
5
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析    (1)当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时原点到该直线的距离等于2,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由已知得 =2,解得k= ,此时直线方程为3x-4y-10=0.综上,所求直线方程为x=2和3x-4y-10=0.(2)过点A且与原点的距离最大的直线是过点A且与直线OA垂直的直线.易知kOA=- ,所以所求直线的斜率为2,所以所求直线方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.最大距离d= = .


55
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程(3)不存在,理由如下:由(2)可知,过点A的直线与原点的最大距离为 ,因为 <3,所以不存在过点A且与原点距离为3的直线.技巧点拨　解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后根据题意选择合适的公式求参数.也可以综合应用直线的有关知识,充分发挥几何图形的直观性,找到所求直线的特征,然后由已知条件写出直线的方程.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 已知某正方形的中心为直线2x-y+2=0与x+y+1=0的交点,正方形一边所在直线l的方程为x+3y-5=0,求:(1)正方形的面积;(2)正方形其他三边所在直线的方程.典例2思路点拨    (1)利用正方形中心到其一边的距离为边长的一半求解.(2)根据所求的三边中一边所在直线与直线x+3y-5=0平行,另两边所在直线与直线x+3y-5=0垂直及正方形的中心到四条边所在直线的距离相等求解.


20,2xy=-+x=-1,
��
��
xy+=+,10y=0,
��
|105|-+-310
22
5
13+
610
52
��
61072
��
5
5
��
|1|-+c310
22
5
13+
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析    (1)由 得 故正方形中心的坐标为(-1,0).∵(-1,0)到直线x+3y-5=0的距离d= = ,∴正方形的边长为2d= ,∴正方形的面积为 = .(2)设正方形中与直线l:x+3y-5=0平行的边所在直线的方程为l1:x+3y+c=0(c≠-5).由点(-1,0)到两直线l,l1的距离相等,得 = ,


310
∴ = = ,解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.22|3|3(1)a-++-22|3|3(1)b-++-
5
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解得c=7或c=-5(舍去),∴l1:x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线均与l垂直,∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,


想间求两平行直线将的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2.两条平行直线间距离公式的应用　　已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程,一般先设出直线方程,再利用两平行直线间的距离公式求解.3 | 平行线间距离公式的应用定点
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程1.两条平行线间距离的求法(1)直接利用公式求解,代入公式时注意两直线方程中x, y的系数必须对应相等.(2)利用“转化与化归”思


713
相平行,则它们 　 　    . 之间的距离是 (2)已知△ABC的两
26
顶1A,B在直线l点:2x-y+3=0上,点C在直线l2:2x-y-1=0上.若△ABC的面积为2,则AB边的长为　　　    首.   典例思路点拨    (1)5
先利用两直线平行求出参数m的值,然后将两直线方程对应系数化相同,最后代入距离公式求值.(2)易知l1∥l2,所以l2上的点C到l1的距离等于以AB为
底时△ABC的△,再根据S高ABC=2求出AB边的长.
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 (1)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互


32
6m
|61|--7713
22
2622|3(1)|2(1)--+-
52
64+
45
5
145
5
25
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析    (1)因为直线3x+2y-3=0和直线6x+my+1=0平行,所以 = ,即m=4.所以对应直线方程为6x+4y+1=0.又直线3x+2y-3=0的方程可化为6x+4y-6=0,所以两平行线之间的距离d= = = .(2)易知l1∥l2,故直线l1,l2间的距离d= = ,所以S△ABC= × ×|AB|=2,解得|AB|= .


见的对称问题及应用定点
称求(1)点的求法点关于点的对
称1坐标若点M(x1,y点)关于点P(a,b)的对
xax-=,2
�
1
称N(x,y),点为则由中点坐标公式可得 (2)求点关于直线的对
�
yby-=.2
y�00001,022yAxxBxxyyABC-����-=-���-����++��+�+=��1
称M坐标设点点(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B均不为0)的对
称连N(点为x,y),则可根据M,N线垂直于直线l,以及线段MN的中点在直线l上
列 求得.方程组4 | 常
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 1.对


称为(x点,-y),关于y轴的对称(-x,点为y).②点(x,y)关于直线y=x的�