xy
yy-xx-
ab
yy-121xx-
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程2.2　直线的方程1 | 直线的方程形式与适用条件知识点必备知识 清单破名称点斜式斜截式两点式截距式一般式方程形式y-y0=k(x-x0)y=kx+b = (x1≠x2,y1≠y2) + =1(a≠0,b≠0)Ax+By+C=0(A,B不同时为0)已知条件直线上一定点(x0,y0),斜率k斜率k,直线在y轴上的截距b直线上两点(x1,y1),(x2,y2)直线在x轴上的非零截距a,直线在y轴上的非零截距b系数A,B,C121


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程名称点斜式斜截式两点式截距式一般式适用范围不垂直于x轴的直线不垂直于x轴的直线不垂直于x轴和y轴的直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点的直线任何位置的直线　　注意:两点式方程不必记忆,可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率,再用点斜式写出方程.


kk,=ABAB0,-=
��
��
bb�ACAC0-�
11221122��1212
kk,=ABAB0,-=
��
��
bb=ACAC0-=
�12211221�
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程2 | 直线方程的斜截式、一般式与两直线的位置关系知识点 斜截式:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2一般式:l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)l1,l2相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0l1∥l2  l1,l2重合  l1⊥l2k1·k2=-1A1A2+B1B2=01212


yy-
xx-121
yy-xx-
1
yy-xx-
21
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程知识辨析1.方程k= 与y-y0=k(x-x0)表示的意义相同吗?2.直线y-3=k(x+1)是否恒过定点?3.直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点到原点的距离吗?4.方程 = 和方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示的直线相同吗?5.直线y=kx+b就是一次函数y=kx+b的图象吗?6.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程在任何情况下都可以与一般式方程进行互化吗?7.当A=0或B=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线?00


yy-
xx-121
yy-xx-
1
yy-xx-
21
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程一语破的1.不相同.方程k= 表示的图形中没有点(x0,y0).2.是.恒过定点(-1,3).3.不是.直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标.4.不一定相同.方程 = 表示不垂直于坐标轴的直线,方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示经过两点的任意直线.5.不一定.当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数,所以只有直线方程y=kx+b中的k≠0时,该直线才是一次函数的图象.6.不是.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程均可以化为一般式方程,但一般式方程转化为其他形式时,必须要在该形式的适用范围内.00


C
B
C
A
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程7.当A=0,B≠0时,原方程可化为y=- ,它表示与y轴垂直的一条直线;当B=0,A≠0时,原方程可化为x=- ,它表示与x轴垂直的一条直线.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程1.求直线方程时对方程形式的选择一般有以下几类:①已知一点的坐标,一般选取点斜式方程,求解时根据其他条件确定直线的斜率.注意斜率不存在的情况.②已知直线的斜率,一般选用斜截式方程,求解时根据其他条件确定直线的截距.③已知两点坐标,一般选用两点式方程或点斜式方程,若两点是与坐标轴的交点,则选用截距式方程.1 | 直线方程的选择和求解 定点关键能力 定点破


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程2.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)确定已知直线的斜率,再利用平行(垂直)关系得出所求直线的斜率,最后由直线的点斜式求方程.(2)利用待定系数法.已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则与其平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(A,B不同时为0,C1≠C),与其垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0(A,B不同时为0),再由直线所过的点确定C1或C2即可.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 求满足下列条件的直线方程:(1)经过点(5,-2),且与y轴平行;(2)过P(-2,3),Q(5,-4)两点;(3)过点(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数;(4)过点(2,2)且与3x+4y-20=0平行或垂直.典例1


∴该直线上的点的横坐标均为5,故所求直线方程为x=5.(2)解法一(两点式):过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线方程为 = ,整理可得x+y-1=0.解法二(点斜式):易知过P,Q两点的直线的斜率存在,且kPQ= =-1.∴所求直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.(3)
y-3x+2
--4352+
--43
5(2)--
xy
①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,设直线方程为 + =1.又过点(3,4),∴ + =1,解得a=-1.∴所求直线方程为 + =1,即x-y+1=0.
a-a
34
a-a
x
-1y1
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析    (1)与y轴平行的直线的斜率不存在.∵所求直线经过点(5,-2),


4
3
4
3
33
44
4
3
∴所求直线方程分别为3x+4y-14=0,4x-3y-2=0.
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程②当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0,即直线过原点时,设直线方程为y=kx.又过点(3,4),∴4=k·3,解得k= ,∴所求直线方程为y= x,即4x-3y=0.综上,所求直线方程为x-y+1=0或4x-3y=0.(4)解法一:直线3x+4y-20=0的斜率为- ,故过点(2,2)且与其平行的直线方程为y-2=- (x-2),即3x+4y-14=0;过点(2,2)且与其垂直的直线方程为y-2= (x-2),即4x-3y-2=0.解法二:设与直线3x+4y-20=0平行、垂直的直线方程分别为3x+4y+a=0(a≠-20)和4x-3y+b=0,把(2,2)分别代入两方程,解得a=-14,b=-2,


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程易错警示　若题目中出现直线在两坐标轴上的截距“相等”“互为相反数”或“在一坐标轴上的截距是其在另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,可采用截距式求直线的方程,但一定要考虑截距为0的情况.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).(1)分别求边AC和AB所在直线的方程;(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程;(3)求AC边上的中垂线的方程;(4)求AC边上的高所在直线的方程.典例2


x
-4y8
y-4
64002-x---
y-2
624(4)2(-)x-----
1
2
1
2
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析    (1)由截距式,得边AC所在直线的方程为 + =1,即x-2y+8=0.由两点式,得边AB所在直线的方程为 = ,即x+y-4=0.(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),由两点式,得BD所在直线的方程为 = ,即2x-y+10=0.(3)由(1)可知kAC= ,故AC边上的中垂线的斜率为-2.又AC的中点坐标为(-4,2),所以由点斜式,可得AC边上的中垂线的方程为y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0.(4)由(1)可知kAC= ,故AC边上的高所在直线的斜率为-2.又直线过点B(-2,6),所以由点斜式,可得AC边上的高所在直线的方程为y-6=-2(x+2),即2x+y-2=0.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程1.根据斜截式方程中k,b的几何意义确定对应函数的大致图象.2.方程中含参的直线过定点类问题常用的三种方法:①将方程化为点斜式:y-y0=k(x-x0),其中k为参数,从而求得直线恒过定点(x0,y0).②分离参数法:将方程中的参数分离,把含x,y的关系式作为参数的系数,即有参数的放在一起,没参数的放在一起,因为此式子对任意的参数的值都成立,所以令参数的系数和不含参数的式子为零,解方程组可得x,y的值,从而得到直线所过的定点的坐标.③赋值法:因为参数取任意实数时方程都成立,所以可给参数任意赋两个值,得到关于x,y的二元一次方程组,解方程组可得x,y的值,从而得到直线过的定点的坐标.2 | 利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题定点


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围.典例


3
113
����
∴直线l的斜率为a,且过定点 .A点 在第一象限内,∴无论a为何值,直线l总经过第一象限.(2)记∵ ,如图所示,kOA= =3.∴要使l不经过第二象限,只需a≥kOA,∴a≥3. 
x-,
����
5555
����
13
��
,
��
55
��
3
-0
13
��
5
,
��
1
55
��
-0
5
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析    (1)证明:5ax-5y-a+3=0可化为y- =a ,


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程规律总结　已知含参直线的一般式方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),求参数的值或取值范围的步骤: 


面积、线段长度等问题时,通常要先设出直线方程,再借助
其他知识(如函数、基本不等式等)解决问题.3 | 直线方程的应用定点
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程　　实际问题中,经常会遇到过定点的直线,此时可以先设出直线的点斜式方程或斜截式方程,再综合其他知识解决问题,需要注意直线的斜率是否存在和直线在两坐标轴上的截距是否存在、是不是0等特殊情况.在解决直线与坐标轴围成的三角形


正半(1A,B.轴分别交于点)求△AOB面积
的最小值以及l的方程;(2)当此时直线|OA|+|OB|取最
小l,求直线值时的方程.典例
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程已知O为坐标原点,直线l经过点P(3,2),且与x轴、y轴的


x
ayb
32
ab
32326132
仅a = ,即当=6,b=4时取等
�
ababab2ab
号.故△AOB面积
x4y
的最小12,此时直线l的方程为值为 + =1,即2x+3y-12=0.(2)|OA|+|OB|=a+b=(a+b) =5+ + ≥5+2 =5+2 ,当且
6
322a3b23ab
��
+�6
��
baba
ab
��
仅 =当 且 + =1,即a=+ ,b=2+ 3时取等2a3b32号,
66
baab
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析　解法一:设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>