第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程1.倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,它的倾斜角为90°.2.直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.注意:直线倾斜角α的取值范围是 0°≤α0k不存在k<0


yy-
xx-yx
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程3.已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,则直线l的斜率不存在;若x1≠x2,则直线l的斜率 k= .　　注意:若已知两点的横坐标中含有参数,则要对参数进行分类讨论,分类的依据便是“两点的横坐标是否相等”.4.直线的方向向量与斜率的关系(1)当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k);(2)当直线的一个方向向量为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k= .2121


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程　　两条直线(不重合)平行的判定如下表:3 | 两条直线平行的判定知识点类型斜率存在斜率不存在前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2两直线的斜率都不存在⇒l1∥l2图示  　　注意:若l1,l2重合,则仍有k1=k2或l1,l2的斜率均不存在.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程　　两条直线垂直的判定如下表:4 | 两条直线垂直的判定知识点图示  对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2=-1l1的斜率不存在,l2的斜率为0⇒l1⊥l2


1
k
1
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程知识辨析1.不同直线的倾斜角一定不相同吗?2.直线的斜率一定随着倾斜角的增大而增大吗?3.若两直线(不重合)平行,则两直线的倾斜角一定相等吗?反之呢?4.若两直线(不重合)的斜率相等,则两直线平行,正确吗?反之呢?5.设直线l1的斜率为k1,直线l2垂直于直线l1,则直线l2的斜率为- ,此结论正确吗?


p0,2�p�����
2
p
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,p
��
2
��
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程一语破的1.不一定.由倾斜角的定义可以知道,任何一条直线都有唯一的倾斜角,但是不同直线的倾斜角有可能相同,如两条平行直线的倾斜角是相同的.2.不一定.当直线的倾斜角α≠ 时,直线l的斜率k=tan α,由正切函数的图象可知,当α∈ ∪ 时,k=tan α不单调.3.一定;反之亦成立.4.正确;反之不正确.若两直线(不重合)的斜率相等,则两直线的倾斜角必相等,两直线必定平行;若两直线(不重合)平行,则两直线的斜率相等或均不存在.5.错误.若两直线l1,l2的斜率均存在,则结论正确;若直线l1的斜率k1=0,则两直线垂直时,直线l2的斜率不存在.


p
��
0,�<�ααp
��
2
��
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程  直线的倾斜角与斜率的关系(1)当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大;(2)当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越大;(3)k=tan α 的图象如图所示. 　　由斜率k的范围截取函数图象,进而得到倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函数图象,进而得到斜率k的范围.1 | 倾斜角与斜率的关系及应用定点关键能力 定点破


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的倾斜角α的取值范围;(2)求直线l的斜率k的取值范围.典例思路点拨　作出图形并观察,可以发现直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括直线PB与PA的倾斜角).


40-20-
--3131-
p3pp3p
4444
∴直线l的倾斜角α的取值范围是 ≤α≤ .(2)根据倾斜角与斜率的关系知,直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析　如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1. (1)由图可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括直线PB与PA的倾斜角),又直线PB的倾斜角是 ,直线PA的倾斜角是 ,


p3p
44
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程易错警示　本题易错误地认为-1≤k≤1,由 ≤α≤ ,利用函数k=tan α(0≤α<π)的图象(如图所示)得到k的取值范围应是k≤-1或k≥1. 


yb-yb-
xa-xa-
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或AB与BC或AC与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在同一条直线上.　　注意:若点A,B,C中的任意两点所在直线的倾斜角都为90°,且这两条直线有公共点,则A,B,C三点共线.2.形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜率),借助于图形,将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题,从而简化运算过程.2 | 直线斜率的应用定点


y+3
x+2
y+3
x+2
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求 的最大值和最小值.典例思路点拨     的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线的斜率,结合图形求出斜率的最大值和最小值即可.


y+3
x+2
4
1(3)--5(3)--
3
1(2)-----)2(1
y+34
x+23
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析     的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线的斜率.对于y=x2-2x+2,当x=-1时,y=5;当x=1时,y=1.设点(-1,5)为B,点(1,1)为A,点(-2,-3)为P,如图所示.由图可知,当直线经过点P(-2,-3)和B(-1,5)时,斜率最大;当直线经过点P(-2,-3)和A(1,1)时,斜率最小.又kPA= = ,kPB= =8,所以 的最大值为8,最小值为 .


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 1.判断两条不重合的直线是否平行的方法(1)利用直线的斜率判断: (2)利用直线的方向向量判断:分别求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,得到两直线是否平行的结论.3 | 两条直线平行、垂直的判定定点


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程2.判断两条直线是否垂直的方法(1)利用直线的斜率判断:在两条直线都有斜率的前提下,看它们的斜率之积是否等于-1即可.特别地,当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直.(2)利用直线的方向向量判断:设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.


第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.典例思路点拨　作出图形,计算各边所在直线的斜率,判断对边是否平行、邻边是否垂直,进而得出结论.


103-103-35-1
3--36362-2
---(4)3
1
3
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析    A,B,C,D四点在平面直角坐标系的位置如图所示. 易得kAB= = ,kCD= = ,kAD= =-3,kBC= =- .因为kAB=kCD,且AB与CD不重合,所以AB∥CD.因为kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.因为kAB·kAD= ×(-3)=-1,所以AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形.532(4)---


征,有多种要分类依次求解况的,情.(3)解题时要注意
考虑 率不存在的情况.4斜| 两条直线平行、垂直的应用定点
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程利用平行、垂直关系求待定参数的值或范围(1)作出示意图,确定问题中的平行、垂直关系,利用斜率、方向向量等条件列出相关方程(组)并求解.(2)充分分析图形特


531119
����
顶,A 点分别为B ,C ,则点D的坐标为　　　    .   (2)已知四边形ABCD的四个
--,,-
����
4444
����
2935
��
,
��
44
��
顶(5A(m,n),B点分别为,-1),C(4,2),D(2,2),且四边形ABCD为直角梯形,求m和n的值.典例思路点拨    (1)思路一:设出点D的坐标,根据AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列方程组求解.思路二:设出点D的坐标,根据 = ,利用向量的坐标列方程组求解.(2)分析直角
�DC�
AB
顶利用两的位置,点底边所在直线平行、直角腰与底.边垂直求解1351,44������
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程 (1)已知平行四边形ABCD的三个


nm-=-,313
�
�
mn=+6,1
�
29
�
m=,
�
�
4
�
35
�
n=.
�
�4
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程解析    (1)解法一:设点D的坐标为(m,n).由题意知,AB∥CD,AD∥BC,且直线AB,CD,AD,BC的斜率均存在,∴kAB=kCD,kAD=kBC,∴ 化简,得 解得 51319444,1351144451193444,13115444nmnm�+--�=��+-���--+�=�-+��


2935
��
,
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44
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AB
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927
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22
��DC�
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11929
��
-=-m,m=,
��
��
424
��
192735
��
--=-n,n=.
��
�42�4
2935
��
,
��
44
��
∴m=2,n=-1.
第1讲　描述运动的基本概念第二章 直线和圆的方程∴点D的坐标为 .解法二:设点D的坐标为(m,n).由题意知, = .易得 = , = ,∴ 解得 ∴点D的坐标为 .(2)当AB∥CD,AB⊥AD时,由图a可知,A(2,-1).


8
5165
8
上,m=2,n=-1或m= ,n=- .易错警示　由几何图形的特
5
征求顶,注意判断图形是否唯一,防止遗漏.点坐标时,1,ADBCADABkkkk=���=-�22(1),2452(1)1,25nmnnmm---�=��--�---��=-�--�165
第1讲　描述运��