5.2 分式的乘除法


【学习目标】1.经历探索分式的乘除法运算法则,通过类比分数的乘除法法则,提高联想能力和推理能力.2.熟练进行分式的乘除运算,并能利用它解决实际问题.【学习重点】套用分式乘除的法则进行运算.【学习难点】灵活运用分式乘除的法则进行运算.教学目标


mVabVmabn�.水高为新课引入
n
问题1 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少?长方体容器的高为 长方体容器的高为 ,,


a
m
b
n
ab
�
mn
问题问题22 大拖拉机大拖拉机mm天耕地天耕地aa公顷公顷,,小拖拉机小拖拉机nn天天耕地耕地bb公顷公顷,,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍作效率的多少倍?? 大拖拉机的工作效率是 公顷/天,小拖拉机的工作效率是 公顷/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.


25
24�
�
34
35�
acac
12=的�=�乘分式除??
()()
bdbd
想一想： 类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？填空：2424123535��（）　＝　，（）　＝ .　


bdbcbc
bdbd
g=�=g总结归纳=
acacacadad
类似于分数，分式有：乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.　　除法法则： 两个分式相乘，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.　上述法则用式子表示为：


322
4xyy
abab-5
(1);�
(2).�
3
3
32yx
24ccd
2
4xyy
4xy
2y
(1)�
==;
3
2
3
32yx
3x
6xy
3
322
abab-5dabc42bd
(2)�=�=-注意：按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.先把除法转化为乘法约分.
3
222
5ac
24ccd
25cab-
例1 计算:解：


22
32
3xy6y
��
2yx
解：（1）原式（2）原式（1）（2）做一做
-�-；
��
3
2yx
34xxy
��
23
322
2xy
2yxy
=
=�=;
4
32
12xy
34xxy6x
22
22
3xy
3xyxx
=
=�=.
3
2
12y
26yy4y


分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算．总结归纳


2
aaa-+-441
(1)�；解：原式=
22
aaa-+-214
2
(2)1aa--
�
2
)1)(2)(2(aaa-+-
2
(2)(1)aa--
=
2
)1)(2)(2(aaa--+
(2)a-
= 分子、分母是多项式时，先；分解因式 便于约分.约分
(1)(2)aa-+
例2 计算：


11
(2)�2解：原式原式==2.17491mmm-�-
22
497--mmm
1(7)mm-
=�
(7)(7)17+-(7)(+)(7)mmmm-=-mm
m
=-整式与分式 先把除法转化为乘法. . 运算时，可以把整式看成分母是1的分式．负号怎么得来的？
7+m


2
：原一做式x解做2x9

2
x3
x4
x-+-x()3)3x(2
=�
(3)(x2)(x2)x++-
(2)(x3)(x3)x-+-
=
(3)(x2)(x2)x++-
x3-
=
x2+
(1)


22
aaaa+-23
=g
22
aaa-+-694
aaaa3)(2)(+-
=g
2
(a3)(a2)(a2)-+-
2
aaa(3)(2)+-
=
2
(a3)(a2)(a2)-+-
2
a
=
(3)(a2)a--
解：原式aaaaaaa349622222(2)


1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)分式乘除法的解题步骤总结归纳


22
yxxyyx++-2
�
2
xxyxy-+
2
(y)xxy+-
解：原式=g
yxxxy)(-+
2
（）xx+yy-（）g
=
xxx(y)(y)-+g
（xx）x-yy)(+(+y)g
=
(y)(y)xxx+-g
x+y
=
x
x-+092900191y
==-
x19919999
当x=1999,y=-2000时,得


做一做方法总结：根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代入求值.同时注意字母的取值要使分数有意义！思考：本题中，x的取值不能为哪些数？


4
3=3333812��=2�3��=����
224
�=423��=����222216333381���=分式的乘方
339
根据乘方的意义计算下列各式：


a
=3ab��=����aaabbb��33ab=10ab��=����aaabbbgggggg
b
10
a
=
10
b10个
类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？2ab��=����aabb�22


a
().n乘这就是说，分式=方要把分子、分母分别乘方.
b
a
aaa������
aaa
a
==
()n
=ggggggn个
b
b
bbbn������个n个nn
bbb
想一想：一般地，当n是正整数时，


＝am+n ；(2) am÷an
＝am-n；(3) (am)n
＝amn； (4) (ab)n
＝anbn；
(5.nnnaa)bb��=����
想一想:目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？(1) am·an


aa
(n)nn）=（（11）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把 要把 写成 写成 ...
bb
nn
nn
aa
aa��

=


��
n
bb
��（2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.×√总结归纳
bb

分式的乘方法则


种小麦的单位面积
产量高？（2）高的单位面积
产量是
低的单位面积产量a多少倍？1mam（的-1）m分式的乘除法应用
例4 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分， “丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克.（1）哪


500
产量 kg/m2；“丰收是2号”小麦的试验田面积是（a
2
a-1
－1）2m2，单位面积
500
产量 kg/m2.是 25001a-
2
(1)a-
（aa1）2, － 2-1>0，由图
可得（a）1－2 a 2-1.∴解：（1）“＜丰收1号”小麦的试验田面积是（a 2-1）m2，单位面积
500
2
(1)a“1, 0＜


以 “丰收2号”小麦的单位面积量产是“丰收1号”小麦的单位面积
产量.11的 倍aa+-
（2）222250050050011.(1)1(1)5001aaaaaa-+�=�=---- 所


条船往返于水路相的100 km距A,B两地之间，
已知水流的速度是每，小时2 km船在静水中的速度
是每，x km（x>2小时）那么船在往返一次过程中，
顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.【解
x-2
x+2
析】顺流速度2x+为（）km/h，逆流速度为（x-2）km/h，
100100100x-2x-2
�==g做一做
x+2x-2x+2100x+2
一
由题意得


练习
2
abax-3
�
等 （ ）A. B. 于 C. D.
24cdcd
222
2
3
2b3abx
2b
2
bx
-C2.-化简 的结果是（ ）B
22
23x8cd
3x
11
A.B.C.1D.aa-
aa堂-211aaaa--�随1
1.计算


两块正方形土和长分别为a米地，边b米(a≠b)，
老李家种植一块长方形土，长为地2a米，宽为b米．
他们种的都是花生，并且总产量
相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是
老李家种植的单位面积产量的多少倍？解：
设花生的总产量是1，则
112ab
�=
2222
bababa植++3.老王家种2


析：利用分式的乘法法则先进行计算化简，后代然入求值．4.先化简，再求值：
解


析：将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
解


常先分解因式再按法则进行(3)要运用法则时要注意符号的
变化课后小结
分式乘除运算乘除法运算注意(1)分子分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算(2)分子分母是多项式的，通