第一章 三角形的证明2 直角三角形（第1课时）


如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.acb勾弦股情境导入


1.直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？定理1：直角三角形的两个锐角互余.如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？定理2：有两个角互余的三角形是 直角三角形.讲授新课


勾股定理的证明方法一: 数方格方法二：割补法方法三：赵爽的弦图方法四：总统证法方法五：青朱出入图这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?


ab
∵(a+b)2 = c2 + 4ab/2，a2+2ab+b2 = c2 +2ab，∴a2+b2=c2.大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 .(a+b)2c2 +4ab/2
abcab
c
c
cab


∵c2= 4ab/2 +(b-a)2， c2 =2ab+b2-2ab+a2， c2 =a2+b2，∴a2+b2=c2.大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 .c24ab/2+(b- a)2
b
c
ca

c
a
a
c


总统证法′这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式.图中三个三角形面积的和是2×ab/2＋c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2.比较可得:c2 = a2+b2 .伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.ababcc


勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.命题: 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.探究：如果将条件和结论反过来，命题还成立吗？


△ABC是直角三角形.acbABC(1)
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:


△ABC是直角三角形.acbABC(1)acbB′A′C′(2)A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图),
△A′B′C′使∠C′=90°, A′C′=AC, B′C′=BC(如图),则已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:
∴AB2=A′B′2(等式性质).
∴AB=A′B′(等式性质).
∴△ABC≌ BA′△′C′(SSS).
∴∠A=90°(A′＝ ∠全等三角形的对应边).
∴△ABC是直角三角形(直角三角形意义).
逆定理的证明证明:作Rt


∵AC2+BC2=AB2(已知),
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).acbABC(1)
′勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.在△ABC中，


命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?


定理与逆定理一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.你还能举出一些例子吗?想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.


′老师提示:你是否能将有关命题的知识予以整理.说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假:四边形是多边形;两直线平行,同旁内角互补;如果ab=0,那么a=0,b=0.请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.


勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.课堂小结