第一章 三角形的证明2 直角三角形（第2课时）


∠C．证明：过A作AD⊥BC，垂足为C， ∴
∠ADB= ADC=90°. ∠又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）. 你同意他的作法吗？DCBA讲授新课
小明在证明“等边对等角”时，通过作等腰三角形底边的高来证明.过程如下：已知：在△ABC中， AB=AC．求证：∠B=


∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等．
小颖说：推理过程有问题．他在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的． 如图所示：在△ ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=


△ABC和Rt′A△B′C′中，∠C=′C∠=90°，AB=A′B′，BC=B′C′.求证：Rt
△ABC≌RtA′B′C′.A'△B'C'CBA证明：在Rt
△ABC中，AC2=AB2－BC2(勾股定理)．又∵在Rt
△A‘ B’ C‘中，A’ C‘ 2=A’B‘2－B’C‘2 (勾股定理)，AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt
△ABC≌RtA'△B'C' (SSS)．
小刚说：小颖这里说的∠B是锐角，如果∠B是直角，即如果其中一边所对的角是直角，这两个三角形就是全等的．我认为小明同学的证明无误． 已知：在Rt


定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．直角三角形全等的判定定理


例1 判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． 例题讲解


例2 你能用三角尺平分一个已知角吗? 如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线．


∠BDA=90°，要使△ACB≌
△BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来． 从添加角来说，可以添加∠CBA=
∠DAB或∠CAB=
∠DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD．
例3 如图，已知∠ACB=


△ACO和Rt，BDO中△∵AO=BO，∠ACB=
∠BDA=90°.∠AOC=
∠BOD(对顶角相等)，∴△ACO≌△BDO(AAS)．∴AC=BD．又∵AB=AB，∴△ACB≌△BDA(HL). 如果把刚才添加的条件“OA=OB”改写成“OC=OD”，也可以使△ACB≌△BDA．
若OA=OB，则△ACB≌△BDA． 证明：在Rt


∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C' ． 证明：∵CD，C‘D’分别是△ABC和△A‘B’C‘的高，∴∠ADC=
∠A'D'C'=90°．在Rt
△ADC和RtA'D'C'中，△AC=A'C'，CD=C'D'，∴Rt
△ADC≌RtCA'D'△' (HL)．∴∠A=
∠A'(全等三角形的对应角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=
∠A' ，AC=A'C' ，∠ACB='A'C'B∠ ，∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．
http://www.bnup.com.cn例4 如图，在△ABC和△A'B'C'中，CD，C'D'分别是高，并且AC=A'C'，CD=C'D'．∠ACB=


1．“HL”定理 2. 用三角尺作已知角的平分线，并说明理由． 3．总结：直角三角形全等的判定方法．1．“HL”定理. 2. 用三角尺作已知角的平分线，并说明理由． 3．总结：直角三角形全等的判定方法．课堂小结