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第一章 三角形的证明4 角平分线 （第1课时）
学习目标1.会用尺规作角平分线.2.能够证明角平分线的性质定理、判定定理.3.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.
思考： 要在S区建一个集贸市场.（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的交叉处400米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）SO公路铁路情境引入
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？AOBC活动1 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）1.什么是角平分线？怎样画角平分线？讲授新课
Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交
Ｍ
ＯＡ于Ｍ，交
Ｃ作法：1.以
ＯＢ于射．3.作Ｎ线OC．则射线
Ｍ，．为圆心Ｎ大于
1
ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于
2
Ｏ
Ｎ
Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AB
ＯＣ即为所求．
2.分别以
探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动2 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
同学甲、乙谁的画法是正确的?按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PE，PF ，并度量所画PE，PF是否等长？CC
角平分线上的点到角的两边的距离相等． 议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？
∴∠1=2∠，∠PDO=PEO∠=90°. 又∵OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).AOCB12PDE你能证明这个结论吗？角平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD=PE．证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
图形语言文字语言数学符号语言AOCB12PDE
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
BBD CD（×）练习：判断1.ABCD
D
A
C
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
∵AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知），∴ = .（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
B不必再证全等2.ABCD
A
D
C
△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ ABCDEADOBEPC知识应用2.如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D，E,PD=4 cm,则（1）PE=_____cm.（2）P点到OB的距离_____cm.
1.在Rt
＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．思考AOCB12PDE
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ （前提条件）已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD
∴∠PDO= =PEO∠90°. 在Rt
△ODP和Rt OEP中， △OP=OP，PD=PE， ∴Rt
△ODP ≌ RtPOE△(HL)． ∴∠1=2(
∠全等三角形对应角相等) . ∴点P在∠AOB的角平分线上．AOCB12PDE
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE这样，我们又可以得到一个结论：
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
梦想成真 AB思考： 要在S区建一个集贸市场.（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的交叉处400米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）SO公路铁路
△ADE中，∵∠AED=90°，AD=10，∴DE= ½ AD= ½ ×10=5 .
例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长. ABCDEF证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ，DE ＝DF，∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30.在Ｒt
∴DE (DF＝ 角平分线的性质). 在Ｒt
△BDE和Rt CDF中, △ DE=DF （已证）， BD=CD（已知），
∴Rt△BDE≌RtC△DF (HL).
∴BE=CF （全等三角形对应边相等）.
例2 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:BE=CF. ABEDCF 证明：∵AD平分∠CAB， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠CFD=90°.在Ｒt
△BDE和RtECDF中, B△=CF （已证）， BD=CD（已知），
∴Rt△BDERt△≌CDF (HL).
∴DE DF＝ (全等三角形对应边相等). 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ 点D在∠A的角平分线上，即AD是它的角平分线.
例3 已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF.求证:AD是∠BAC的角平分线. ABEDCF 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD平分∠CAB ，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE 分 DF(角平＝线的性质)，∠DAE=
∠DAF.
∵∠DEB=CFD∠=90°，
∴∠ADE=ADF,即AD∠是∠EDF的角平分线.
∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线，
∴AD垂直平分EF(三线合一）.
例4 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求: AD与EF关系.ABEDCF 证明:
△ABC中，AC C B＝，∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E. 求证：BD＋DE ＝AC. 变式 已知AB ＝15 cm, 求△DBE的周长.EDCBA
巩固提高 已知：在等腰Rt
1.用尺规作角平分线.2.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.3.角平分线的判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.本节课你学到了什么？课堂小结
∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=____.==1随堂练习
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE_______PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_____
学习目标1.会用尺规作角平分线.2.能够证明角平分线的性质定理、判定定理.3.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.
思考： 要在S区建一个集贸市场.（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的交叉处400米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）SO公路铁路情境引入
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？AOBC活动1 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）1.什么是角平分线？怎样画角平分线？讲授新课
Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交
Ｍ
ＯＡ于Ｍ，交
Ｃ作法：1.以
ＯＢ于射．3.作Ｎ线OC．则射线
Ｍ，．为圆心Ｎ大于
1
ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于
2
Ｏ
Ｎ
Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AB
ＯＣ即为所求．
2.分别以
探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动2 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
同学甲、乙谁的画法是正确的?按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PE，PF ，并度量所画PE，PF是否等长？CC
角平分线上的点到角的两边的距离相等． 议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？
∴∠1=2∠，∠PDO=PEO∠=90°. 又∵OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).AOCB12PDE你能证明这个结论吗？角平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD=PE．证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
图形语言文字语言数学符号语言AOCB12PDE
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
BBD CD（×）练习：判断1.ABCD
D
A
C
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
∵AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知），∴ = .（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
B不必再证全等2.ABCD
A
D
C
△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ ABCDEADOBEPC知识应用2.如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D，E,PD=4 cm,则（1）PE=_____cm.（2）P点到OB的距离_____cm.
1.在Rt
＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．思考AOCB12PDE
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ （前提条件）已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD
∴∠PDO= =PEO∠90°. 在Rt
△ODP和Rt OEP中， △OP=OP，PD=PE， ∴Rt
△ODP ≌ RtPOE△(HL)． ∴∠1=2(
∠全等三角形对应角相等) . ∴点P在∠AOB的角平分线上．AOCB12PDE
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE这样，我们又可以得到一个结论：
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
梦想成真 AB思考： 要在S区建一个集贸市场.（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的交叉处400米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）SO公路铁路
△ADE中，∵∠AED=90°，AD=10，∴DE= ½ AD= ½ ×10=5 .
例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长. ABCDEF证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ，DE ＝DF，∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30.在Ｒt
∴DE (DF＝ 角平分线的性质). 在Ｒt
△BDE和Rt CDF中, △ DE=DF （已证）， BD=CD（已知），
∴Rt△BDE≌RtC△DF (HL).
∴BE=CF （全等三角形对应边相等）.
例2 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:BE=CF. ABEDCF 证明：∵AD平分∠CAB， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠CFD=90°.在Ｒt
△BDE和RtECDF中, B△=CF （已证）， BD=CD（已知），
∴Rt△BDERt△≌CDF (HL).
∴DE DF＝ (全等三角形对应边相等). 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ 点D在∠A的角平分线上，即AD是它的角平分线.
例3 已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF.求证:AD是∠BAC的角平分线. ABEDCF 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD平分∠CAB ，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE 分 DF(角平＝线的性质)，∠DAE=
∠DAF.
∵∠DEB=CFD∠=90°，
∴∠ADE=ADF,即AD∠是∠EDF的角平分线.
∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线，
∴AD垂直平分EF(三线合一）.
例4 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求: AD与EF关系.ABEDCF 证明:
△ABC中，AC C B＝，∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E. 求证：BD＋DE ＝AC. 变式 已知AB ＝15 cm, 求△DBE的周长.EDCBA
巩固提高 已知：在等腰Rt
1.用尺规作角平分线.2.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.3.角平分线的判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.本节课你学到了什么？课堂小结
∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=____.==1随堂练习
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE_______PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_____
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