第四章 因式分解2 提公因式法


温故知新一、因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫作因式分解.


二、下列由左边到右边的变形，哪些 是分解因式？哪些不是？说明理由.(1) x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2；(2) 6x2y3=3xy·2xy2；(3) (3x-2)(2x+1)=6x2-x-2；(4) 4ab+2ac=2a(2b+c).


温故知新三、整式乘法与分解因式之间的关系互为逆运算


555
15-92
888
555
15-92
888
829155-
5
8=5
8
四、计算： .问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？ 解：


mambmab+=+
()
如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，求这个新长方形的面积？认真观察等式两边各有什么特点？


(baabm)mm+=+
想一想多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？ 多项式mb +nb–b呢？
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.公因式


23
2x6x
23
2x6x
232
2xy6xy
中各项的公因式是什么？ ①多项式②你能尝试将多项式因式分解吗？③多项式 中各项的公因式是什么？你认为怎样确定一个多项式的公因式？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数； （2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分； （3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．


例: 找 2 x 2 + 6 x 的公因式.定系数2定字母x 定指数23所以，公因式是 2 x .22 x + 6 x = 2 x ×1+ 2x2 ×3x= 2x2 (1 +3x ).232


如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.2 x + 6 x = 2 x (1 +3 x)232


例（1）把 3a2-9ab分解因式.温馨提示分两步第一步，找出公因式；第二步，提取公因式 ，(即将多项式化为两个因式的乘积)解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b) .


22
x
7x7x
3

2
7x）（3x
例（2）把 7x3 –21x2 分解因式.解：原式==


例（3）把 9x2– 6xy+3xz 分解因式.=3x·3x - 3x·2y + 3x·z 解：=3x (3x-2y+z).9x2 – 6 x y + 3x z


12x
(324x2
28x)


2
6x
(4x4x4)7x
3x



2
(3x
4x6x
)7
例(4) 把 -24x3 –12 x 2 +28 x 分解因式.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.解：原式== .


错误议一议
小颖解的有误吗？把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.解：8 a3b2 –12ab3c + ab= ab·8 a2b - ab·12b2 c +ab·1= ab(8a2b - 12b2c). 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.


提公因式法分解因式正确的找出多项式各项的公因式.注意：1. 多项式是几项，提公因式后也剩几项.2. 当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1.3.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.


3x+6y；  24xm²-16xm³；③3x³-9x²+3x；④-4a³b³+6a²b-2ab.把下列各式分解因式：看你能否过关？


提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？提公因式法与单项式乘多项式互为逆运算关系


2.确定公因式的方法：小结与反思3.提公因式法分解因式：1.什么叫因式分解？第一步，找出公因式；第二步，提公因式（把多项式化为两个因式的乘积）1)定系数 2)定字母 3)定指数


（1）多项式是几项，提公因式后也剩几项.（2）当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1.（3）当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.4.用提公因式法分解因式应注意的问题：