第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.1　指数与指数函数......................................................................................14.1.1　实数指数幂及其运算.......................................................................14.1.2　指数函数的性质与图像...................................................................4第1课时　指数函数的性质与图像........................................................4第2课时　指数函数的性质与图像的应用...............................................74.2　对数与对数函数....................................................................................114.2.1　对数运算.....................................................................................114.2.2　　对数运算法则...........................................................................144.2.3　对数函数的性质与图像.................................................................16第1课时　对数函数的性质与图像......................................................16第2课时　对数函数的性质与图像的应用.............................................194.3　指数函数与对数函数的关系.....................................................................224.4　幂函数.................................................................................................254.5　增长速度的比较....................................................................................294.6　函数的应用(二).....................................................................................324.1　指数与指数函数4.1.1　实数指数幂及其运算知识点n次方根 (1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n ＝ a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈Ra＞0a＝0a＜0x＝____x＝__±__0不存在根式(1)当有意义时，称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．(2)性质：①()n＝__a__；②＝分数指数幂的意义正分数指数幂n为正整数，有意义，且a≠0时，规定a＝____正分数，a＝__() m__＝


负分数指数幂s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝____无理数指数幂当a＞0且t是无理数时，at是一个确定的__实数__．实数指数幂的运算法则(a＞0，b＞0，r，s∈R)(1)aras＝__a r＋s__．(2)(ar)s＝__a rs__．(3)(ab)r＝__a r b r__．题型n次方根的概念及相关问题典例剖析　典例1　(1)求使等式 ＝(3－a)成立的实数a的取值范围；(2)设－3＜x＜3，求－的值．[分析]　(1)利用＝|a|进行讨论化简．(2)利用限制条件去绝对值号．[解析]　(1)＝＝|a－3|，要使|a－3|＝(3－a)成立，需解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3,3]．(2)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4．∴原式＝规律方法：1.对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0时才有意义；(2)只要有意义，必不为负．2．当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．根式与分数指数幂的互化典例剖析　典例2　(1)用根式表示下列各式：a；a；a－；(2)用分数指数幂表示下列各式：；；．[分析]　利用分数指数幂的定义求解．[解析]　(1)a＝；a＝；a－＝＝．(2)＝a；＝a＝a2；＝＝a－．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→分数指数的分子．


(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析　典例3　化简：(1)(5x－y)··(其中x＞0，y＞0)；(2)0.064－－0＋[(－2)3] －＋16－0.75；(3)32＋×27－；(4)(1＋)[(－－1)－2()]＋()1－×()1＋．[分析]　利用幂的运算法则计算．[解析]　(1)原式＝·x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝．(3)32＋×27－＝32＋×(33)－＝32＋×3－＝32＋－＝32＝9．(4)(1＋)[(－－1)－2()]＋()1－×()1＋＝(1＋)[(＋1)－2·()]＋()1－＋1＋＝(1＋)[(＋1)－2×()×]＋()2＝(1＋)·[(＋1)－1·()]＋2＝()＋2＝2＋2．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．易错警示典例剖析　典例4　化简(1－a)[(a－1)－2·(－a) ] ．[错解]　原式＝(1－a)(a－1)－1·(－a) ＝－(－a) ．[辨析]　误解中忽略了题中有(－a) ，即－a≥0，a≤0，则[(a－1)－2] ≠(a－1)－1．[正解]　∵(－a) 存在，∴－a≥0，故a－1＜0，原式＝(1－a)·(1－a)－1(－a) ＝(－a) ．


4.1.2　指数函数的性质与图像第1课时　指数函数的性质与图像知识点指数函数函数__y ＝ a x__称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1?(2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．②如果a＜0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．(2)①a＞0，且a≠1，②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．指数函数的图像和性质0＜a＜1a＞1图像定义域实数集R值域__(0 ，＋ ∞ )__性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝x，y＝x，…，为什么一定过点(0,1)?(2)对于指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)，在下表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞0？x＜0？0＜a＜1x＞0？x＜0？提示：(1)当x＝0时，a0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)．(2)


．(3)写出指数函数的解析式．指数函数的图像问题典例剖析　典例2　(1)函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图像可能是(　D　)
底数x的范围y的范围a＞1x＞0y＞1x＜00＜y＜10＜a＜1x＞00＜y＜1x＜0y＞1题型指数函数的概念典例剖析　典例1　(1)函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为__2__．(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(－π)＝____．[分析]　(1)根据指数函数解析式的特征列方程求解．(2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f(－π)．[解析]　(1)由题意得a2－3a＋3＝1，即(a－2)(a－1)＝0，解得a＝2或a＝1(舍)．(2)设指数函数为y＝ax(a＞0且a≠1)，则e＝aπ，所以f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a＞0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y＝＝x是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f(x)＝ax(a＞0且a≠1)．(2)利用已知条件求底数A


巧(1)抓住
图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变
换，如函数图像的平移变(换左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性
决定函数图像的
走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理
策略求指数型函数图像所过的定点时，只需
令数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图像所过的定点．指数函数的定义域、值域问题指典例剖析　典例3　(1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值域为(1，＋∞)，则实数a的取值范围是(　D　)A．(－，－1)∪(1，)B．(－1,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－)∪(，＋∞)
(2)要得到函数y＝23－x的图像，只需将函数y＝x的图像(　A　)A．向右平移3个单位B．向左平移3个单位C．向右平移8个单位D．向左平移8个单位[分析]　(1)要注意对a进行讨论，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论判断．(2)先对解析式变形，再进行判断．[解析]　(1)函数y＝x＋a单调递增．由题意知a＞0且a≠1．当0＜a＜1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1；当a＞1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D．(2)因为y＝23－x＝ x－3，所以y＝x的图像向右平移3个单位得到y ＝x－3 ，即y＝23－x的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技


总1，则底数a2－1＞1，大于a2＞2，所以|a|＞，所以实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．(2)要使函数y＝5有意义，则2x－1≥0，所以x≥.所以函数y＝ 5的定义域为．规律方法：函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集
合．(2)值域：①换元
，t＝f(x令)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．提
醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数
含字母时，在求定义域、值域时要注意分类　易错警示典例剖析讨论．典例4　若
函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠域1)的定义域和值都数[0,2]，求实是a的值．[错解]　∵函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域
都[0,2]，∴，∴a＝．故实数是a的值为．[辨析]　误解中没有对a进行分
类当[正解]　讨论．a＞1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是增函数，由题意可知，，解得a＝.当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是减函数，由�