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3.2 简单的三角恒等变换【选题明细表】 知识点、方法题号化简求值1,2,3,4,13恒等式证明8简单应用5,6,7综合应用9,10,11,121.下列各式中,值为的是( B )(A)sin 15°cos 15°(B)cos2-sin2(C) (D)解析:选项A中,原式=sin 30°=;选项B中,原式=cos =;选项C中,原式=×=tan 60°=;选项D中,原式=cos 30°=.故选B.2.(2019·泰安高一期末)已知cos θ=-,<θ<3π,那么sin 等于(D )第 1 页
(A)(B)-(C)(D)-解析:因为<θ<3π,所以<<,所以sin <0.由cos θ=1-2sin2,得sin =-=-=-.故选D.3.已知2sin α=1+cos α,则tan 等于( B )(A)(B)或不存在(C)2(D)2或不存在解析:2sin α=1+cos α,即4sin cos =2cos2,当cos =0时,tan 不存在,当cos ≠0时,tan =.故选B.4.化简(sin +cos )2+2sin2(-)得( C )(A)2+sin α(B)2+sin(α-)(C)2 (D)2+sin(α+)解析:原式=1+2sin cos +1-cos[2(-)]=2+sin α-cos(-α)=2+sin α-sin α=2.故选C.5.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是( D )第 2 页
(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x++θ).当θ=π时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin 2x是奇函数.故选D.6.函数f(x)=sin(2x-)-2sin2x的最小正周期是 . 解析:f(x)=sin 2x-cos 2x-(1-cos 2x)=sin 2x+cos 2x- =sin(2x+)-,所以T==π.答案:π7.若向量a=(2sin α,-1),b=(cos α,2sin2α+m)(α∈R),且a⊥b,则m的最小值为 . 解析:因为a=(2sin α,-1),b=(cos α,2sin2α+m)(α∈R),且a⊥b,所以2sin αcos α=2sin2α+m,所以m=-2sin2 α+2sin αcos α=cos 2α+sin 2α-1=sin(2α+)-1,因为α∈R,所以sin(2α+)∈[-,],所以m的最小值为--1.答案:--18.求证:=.第 3 页
证明:原式等价于1+sin 4θ-cos 4θ=(1+sin 4θ+cos 4θ),即1+sin 4θ-cos 4θ=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ)(*)而(*)式右边=tan 2θ(1+cos 4θ+sin 4θ)=(2cos22θ+2sin 2θcos 2θ)=2sin 2θcos 2θ+2sin22θ=sin 4θ+1-cos 4θ=左边,所以(*)式成立,原式得证.9.函数y=cos2(x-)+sin2(x+)-1( A )(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数解析:y=+-1==sin 2x,是奇函数.故选A.10.(2019·全国Ⅲ卷)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移 个单位长度得到. 解析:y=sin x-cos x=2sin(x-),第 4 页
y=sin x+cos x=2sin(x+),y=2sin(x+)的图象至少向右平移个单位长度得到y=2sin(x+-) =2sin(x-)的图象.答案:11.关于函数f(x)=sin xcos x-cos2x,给出下列命题:①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在区间(0,)上为增函数;③直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;④函数f(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到;⑤对任意x∈R,恒有f(+x)+f(-x)=-1.其中正确命题的序号是 . 解析:f(x)=sin 2x-=sin(2x-)-,显然①错;x∈(0,)时,2x-∈(-,0),函数f(x)为增函数,故②正确;令2x-=+kπ,k∈Z得x=π+,k∈Z,显然x=是函数f(x)图象的一条对称轴,故③正确;f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到y=sin 2(x-)=第 5 页
sin(2x-),故④错;f(+x)+f(-x)=sin(2x+)-+sin(-2x-)-=sin(2x+)-sin (2x+)-1=-1,故⑤正确.答案:②③⑤12.已知函数f(x)=sin(-x)sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在[,]上的单调性.解:(1)f(x)=sin(-x) sin x-cos2x=cos x sin x-(1+cos 2x)=sin 2x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin(2x-)-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当x∈[,]时,有0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.第 6 页
综上可知,f(x)在[,]上单调递增;在[,]上单调递减.13.(2019·日照高一期末)若θ∈,sin 2θ=,则sin θ等于( D)(A)(B)(C)(D)解析:因为θ∈,所以2θ∈,故cos 2θ≤0,所以cos 2θ=-=-=-.又cos 2θ=1-2sin2θ,所以sin2θ===.又θ∈,所以sin θ=,故选D.第 7 页
(A)(B)-(C)(D)-解析:因为<θ<3π,所以<<,所以sin <0.由cos θ=1-2sin2,得sin =-=-=-.故选D.3.已知2sin α=1+cos α,则tan 等于( B )(A)(B)或不存在(C)2(D)2或不存在解析:2sin α=1+cos α,即4sin cos =2cos2,当cos =0时,tan 不存在,当cos ≠0时,tan =.故选B.4.化简(sin +cos )2+2sin2(-)得( C )(A)2+sin α(B)2+sin(α-)(C)2 (D)2+sin(α+)解析:原式=1+2sin cos +1-cos[2(-)]=2+sin α-cos(-α)=2+sin α-sin α=2.故选C.5.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是( D )第 2 页
(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x++θ).当θ=π时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin 2x是奇函数.故选D.6.函数f(x)=sin(2x-)-2sin2x的最小正周期是 . 解析:f(x)=sin 2x-cos 2x-(1-cos 2x)=sin 2x+cos 2x- =sin(2x+)-,所以T==π.答案:π7.若向量a=(2sin α,-1),b=(cos α,2sin2α+m)(α∈R),且a⊥b,则m的最小值为 . 解析:因为a=(2sin α,-1),b=(cos α,2sin2α+m)(α∈R),且a⊥b,所以2sin αcos α=2sin2α+m,所以m=-2sin2 α+2sin αcos α=cos 2α+sin 2α-1=sin(2α+)-1,因为α∈R,所以sin(2α+)∈[-,],所以m的最小值为--1.答案:--18.求证:=.第 3 页
证明:原式等价于1+sin 4θ-cos 4θ=(1+sin 4θ+cos 4θ),即1+sin 4θ-cos 4θ=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ)(*)而(*)式右边=tan 2θ(1+cos 4θ+sin 4θ)=(2cos22θ+2sin 2θcos 2θ)=2sin 2θcos 2θ+2sin22θ=sin 4θ+1-cos 4θ=左边,所以(*)式成立,原式得证.9.函数y=cos2(x-)+sin2(x+)-1( A )(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数解析:y=+-1==sin 2x,是奇函数.故选A.10.(2019·全国Ⅲ卷)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移 个单位长度得到. 解析:y=sin x-cos x=2sin(x-),第 4 页
y=sin x+cos x=2sin(x+),y=2sin(x+)的图象至少向右平移个单位长度得到y=2sin(x+-) =2sin(x-)的图象.答案:11.关于函数f(x)=sin xcos x-cos2x,给出下列命题:①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在区间(0,)上为增函数;③直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;④函数f(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到;⑤对任意x∈R,恒有f(+x)+f(-x)=-1.其中正确命题的序号是 . 解析:f(x)=sin 2x-=sin(2x-)-,显然①错;x∈(0,)时,2x-∈(-,0),函数f(x)为增函数,故②正确;令2x-=+kπ,k∈Z得x=π+,k∈Z,显然x=是函数f(x)图象的一条对称轴,故③正确;f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到y=sin 2(x-)=第 5 页
sin(2x-),故④错;f(+x)+f(-x)=sin(2x+)-+sin(-2x-)-=sin(2x+)-sin (2x+)-1=-1,故⑤正确.答案:②③⑤12.已知函数f(x)=sin(-x)sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在[,]上的单调性.解:(1)f(x)=sin(-x) sin x-cos2x=cos x sin x-(1+cos 2x)=sin 2x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin(2x-)-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当x∈[,]时,有0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.第 6 页
综上可知,f(x)在[,]上单调递增;在[,]上单调递减.13.(2019·日照高一期末)若θ∈,sin 2θ=,则sin θ等于( D)(A)(B)(C)(D)解析:因为θ∈,所以2θ∈,故cos 2θ≤0,所以cos 2θ=-=-=-.又cos 2θ=1-2sin2θ,所以sin2θ===.又θ∈,所以sin θ=,故选D.第 7 页
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