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直线的倾斜角与斜率、直线的方程建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·合肥模拟)直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( )A. B. C．－ D．－A [设直线l的斜率为k，则k＝－＝.]2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1α3，所以0
为＋＝1.又直线过点A(4，1)，则a＝5，故直线的方程为x＋y＝5.综上所述，故选C.]二、填空题6．直线kx＋y＋2＝－k，当k变化时，所有的直线都过定点________．(－1，－2) [kx＋y＋2＝－k可化为y＋2＝－k(x＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2)．]7．已知A(3，4)，B(－1，0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是________．x＋y－2－＝0 [设AB的中点为M，则M(1，2)，又斜率k＝－，直线的方程为y－2＝－(x－1)．即x＋y－2－＝0.]8．若直线l过点P(－3，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________． [因为P(－3，2)，A(－2，－3)，B(3，0)，则kPA＝＝－5，kPB＝＝－.如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.]三、解答题9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3，4)；(2)斜率为.[解] (1)由题意知，直线l存在斜率．设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)＝±6，解得k1＝－或k2＝－.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b|·|b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.2
10．过点P(3，0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程．[解] 设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上．由题意知则点B(6－x，－y)，解方程组得则所求直线的斜率k＝＝8，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)D [因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1). ]2．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2，0)∪(0，2]D．(－∞，＋∞)C [令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．]3．已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．4x－3y－4＝0 [由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.]4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．[解] (1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．3
(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是[0，＋∞)．1．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )A. B. C. D.C [由f＝f知函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－，所以直线的倾斜角为，故选C.]2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P的横坐标的取值范围为( )A． B．[－1，0]C．[0，1] D．A [由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1.所以－1≤x0≤－.故选A.]4
为＋＝1.又直线过点A(4，1)，则a＝5，故直线的方程为x＋y＝5.综上所述，故选C.]二、填空题6．直线kx＋y＋2＝－k，当k变化时，所有的直线都过定点________．(－1，－2) [kx＋y＋2＝－k可化为y＋2＝－k(x＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2)．]7．已知A(3，4)，B(－1，0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是________．x＋y－2－＝0 [设AB的中点为M，则M(1，2)，又斜率k＝－，直线的方程为y－2＝－(x－1)．即x＋y－2－＝0.]8．若直线l过点P(－3，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________． [因为P(－3，2)，A(－2，－3)，B(3，0)，则kPA＝＝－5，kPB＝＝－.如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.]三、解答题9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3，4)；(2)斜率为.[解] (1)由题意知，直线l存在斜率．设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)＝±6，解得k1＝－或k2＝－.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b|·|b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.2
10．过点P(3，0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程．[解] 设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上．由题意知则点B(6－x，－y)，解方程组得则所求直线的斜率k＝＝8，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)D [因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1). ]2．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2，0)∪(0，2]D．(－∞，＋∞)C [令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．]3．已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．4x－3y－4＝0 [由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.]4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．[解] (1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．3
(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是[0，＋∞)．1．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )A. B. C. D.C [由f＝f知函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－，所以直线的倾斜角为，故选C.]2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P的横坐标的取值范围为( )A． B．[－1，0]C．[0，1] D．A [由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1.所以－1≤x0≤－.故选A.]4
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