全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般为2道小题和1道解答题，分值约占22分.2.考查内容高考小题重点考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系及两种圆锥曲线的综合问题．解答题一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等问题，难度较大.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①求圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程问题②圆锥曲线的几何性质及应用问题③直线与圆、圆锥曲线的位置关系问题④圆锥曲线的定点、定值、最值、范围问题(2)重视函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.第一节　直线的倾斜角、斜率与直线的方程[最新考纲]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌1


握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0 ， π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y － y0＝ k ( x － x0)不含直线x＝x0斜截式y ＝ kx ＋ b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ， A 2 ＋ B 2 ≠ 0平面内所有直线都适用[常用结论]1．牢记倾斜角α与斜率k的关系(1)当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.(2)当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．2．特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x ＝ x1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y ＝ y1；(3)y轴的方程为x ＝ 0；(4)x轴的方程为y ＝ 0.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)2


(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√二、教材改编1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)A．1　　　　B．4　　　　C．1或3　　　　D．1或4A　[由题意得＝1，解得m＝1.]2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0A　[由y－5＝－(x＋2)得3x＋4y－14＝0，故选A.]3．已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点A(a，b)，B(a，c)的直线的倾斜角为 ，直线AB的方程为 ．　x＝a　[由题意知，直线AB垂直于x轴，因此直线AB的倾斜角为，直线AB的方程为x＝a.]4．在x轴，y轴上的截距分别是4，－3的直线方程为 ．3x－4y－12＝0　[由题意知，直线方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0.]考点1　直线的倾斜角和斜率　斜率取值范围的两种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可　1.(2019·安庆模拟)直线x－(a2＋2)y＋1＝0的倾斜角不可能为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.D　[设直线x－(a2＋2)y＋1＝0的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ＝∈.又tan＝，故θ不可能为.]3


某种形式； ②由条件
建立所求参(组数的方程)；③解
定系数法①设所求直线方程的
这求出个方程(组)参数；④把
参数的值代入所设直线方程2.谨防三
种失(1)应用“点斜式误”和“斜截式”方程时，要
注意讨论斜率是否存(2)应用在．“截距式”方程时要
注意讨论直线是否过原点，截距是否0.(3)应用一般式Ax为＋By＋C＝0确定直线的斜率时
注意讨论B是否为0.　(1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍
，则该 直线的方程为．(2)若直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一
半，则
该知 ．(3)在△ABC中，已直线的方程为A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为 ．(1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0　(2)x－y＋6＝0　(3)5x－2y－5＝0　[(1)①当4
2．若直线l的斜率k∈[－1,1]，则直线l的倾斜角θ的范围是 ．∪　[当－1≤k＜0时，≤θ＜π，当0≤k≤1时，0≤θ≤.因此θ的取值范围是∪.]3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ．(－∞，－]∪[1，＋∞)　[如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．]　直线的倾斜角和斜率的范围互求时，要充分利用y＝tan x的单调性．考点2　直线的方程　1．求解直线方程的两种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待


截距、纵截距均为零，时设所求的直线方程为y＝kx，(－5,2)代入y将＝kx中，得k＝－，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.②当
横截距、纵截距都不为零，设所求直线方程为＋＝1时，将(－5,2)代入
所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所
述2x＋，所求直线方程为y＋1＝0或2x＋5y＝0.(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，
从而的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－所求直线3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.(3)设C(x0，y0)，则M，N.因为点M在y轴上，所以＝0，所以x0＝－5.因为点N在x轴上，所以＝0，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，所以M，N(1,0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0.]　当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有
倍般关系时，一数要分截距为
零和不为零两种情况求解，当出现或距截和之横截距大于纵距截时，此时横
、纵截距均不为零，可直接用待3　1.经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ．2x－定系数法求解．y＝0或x＋y－5＝0　[设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为＋＝1，∵l过点(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.]2．过点(1,2)，倾斜角的正
弦 ．x－y＋1值是的直线方程是＝0或x＋y－3＝0　[由题意知，倾斜角为或，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.]5
横


夹两条直线在l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段
恰被xP平分，则直线l的方程为 ．8点－y－24＝0　[设直线l与l1，l2的交点分别为A，B，设A(x1，y1)，则B(6－x1，－y1)．由题意得解得即A.直线l的方程为＝，即8x－y－24＝0.]考点3　直线方程的综合应用　与直线方程有关问题的常
见类型线(1)求解与直及解题策略方程有关的最值问题：
先设出直线方程，建立目，函数标再利用基本不等式求解最值．(2)求
参：值或范围数注，点在直线上意则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．　过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正
半为于A，B两点，O轴坐标原点．(1)当△AOB面
积l的方程；(2)当|最小时，求直线OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[解]　设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.(1)＋＝1≥2＝，所以ab≥16，当且
仅a＝当8，b＝2时等号成立所以当，a＝8，b＝2时，△AOB的面
积此时直线l的方程为＋＝1，即x最小，＋4y－8＝0.(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且
仅a＝6，当b＝3时等
号成立所以当，|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.　涉
及与直线在x轴，y轴上的截距有关的问题，可设直线方程为截距式．[教
师备选例题]6
3．过点P(3,0)有一条直线l，它


个l1，l2的一角，有一路电线杆，电线杆底部到道
路l1的垂直距离为4米，到道的垂直距l路2离为3米，现在要过电线杆的底部靠
道近路的一修侧建条一人行直道，使得人道道与两条垂直的行路围成的直角三
角形的面积最小，则人行道的长度为 米．10　[如图
建立平面直角坐标系，设
人4y－行道所在直线方程为＝k(x－3)(k＜0)，所以A，B(0,4－3k)，所以△ABO的面
积S＝(4－3k)＝，因为k＜0，所以－9k－≥2＝24，当且
仅－－9k＝当，即k＝－时取等号(6,0)此时，A，，B(0,8)，所以
人行道的长度为10米一]　1.．条直线经过点A(－2,2)，
并且与两坐标轴围成的三角形的面2为1，则此直线的方程为 ．x＋2y－2＝0或积x＋y＋2＝0　[设所求直线的方程为＋＝1.∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①又因直线与坐标轴围成的
三角形面积1为，∴|a|·|b|＝1.②由①②可得(1)或(2)由(1)��