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第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[最新考纲] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式 ( 组 )线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解( x ， y )可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[常用结论]1．确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是( Ax1＋ By1＋ C )( Ax2＋ By2＋ C ) ＜ 0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是( Ax1＋ By1＋ C )( Ax2＋ By2＋ C ) ＞ 0.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×二、教材改编1．不等式组表示的平面区域是( )C [x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]2．不等式2x－y＋6＞0表示的区域在直线2x－y＋6＝0的( )A．右上方 B．右下方C．左上方 D．左下方B [不等式2x－y＋6＞0可化为y＜2x＋6，结合直线2x－y＋6＝0的位置可知，选B.]3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为 ．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨) [由题意知，x，y满足的关系式为]4．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为 ．3 [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.作出直线y＝－x，并平移该直线，2
当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．由图知A(3,0)，故zmax＝3＋0＝3.]考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 1．求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．2．根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案． (1)不等式组表示的平面区域的面积为 ．(2)已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为 ．(1)1 (2) [(1)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求平面区域的面积．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.(2)直线kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，3
则A(2,2k＋2)，B(2,0)，C(0,2)，由题意知×2×(2k＋2)＝3，解得k＝.] 解答本例T(2)时，直线kx－y＋2＝0恒过定点(0,2)是解题的关键． 1.不等式组所表示的平面区域的面积等于( )A. B. C. D.C [由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.]2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )A．a<5 B．a≥7C．5≤a<7 D．a<5或a≥7C [如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.]3．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ． [直线2x－3y＋6＝0上方的点满足不等式y＞x＋2，∴t＞×(－2)＋2，即t＞.]考点2 求目标函数的最值问题(多维探究)4
取得最小值，最小值为3.] 解答本例T(2)时，首先要把约束条件变为其次设目标函数为z＝2y－x.[教
师备](2018·全国卷Ⅱ)若x，y选例题满足约束条件则z＝x＋y的最大值为 ．5
求线性目标函数的最值 求线性目标函数最值的一般步骤 (1)(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是 ．(2)(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是 ．(1)9 (2)3 [(1)作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.(2)x＋1≤y≤2x可化为其表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在点A(1,2)处
经点B时，z过取得最大值．联立
，得解得所以B(5,4)，故zmax＝5＋4＝9.] 求
非线性目标函数的最值 常
见的两种非线性目标函数及其意义(1)点
到点的距离型：域如形z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区内的动与(x，y)点定点(a，b)的距
离的平方；(2)斜率型：
形如z＝，表示区域内的动(x点，y)与定点(a，b)连线的斜率＝，求 实数x，y满足(1)若z．z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．[解] 由作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z＝表示可行域
内任一点与坐标原点连线的斜率．因此
的范围为直线OB的斜率到直线OA的的(直线斜率OA斜率不存z在，即max不
存B)．由得在(1,2)，所以kOB＝＝2，即zmin＝2，所以z的取值范围是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域
内的任意一点与坐标原点之间距离O因此x2＋y2的最小值为的平方．A2，最大值为OB2.由得A(0,1)，6
9 [画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝x＋y可化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x，并平移，当平移后的直线
题探究](1)保持
本例条件不变，求目标函数z＝的取值范围；(2)保持
本例条件不变，求目标函数z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值．[解] (1)z＝可以
看过点P(1,1)及(x，y)作两点的直线的斜率所以z的取值范围是(－∞，0]．(2)z＝x2＋y2－2x－2y，＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距
离QPQ2，P的平方＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ＝2＝，所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝. 求定点
到区域内动点的距离时最小值的，要数形结合，可能转化为点
到直线的距离问题． 线性规划中的参数问题 求解线性规划中含参问题的两
种基线(1)把参数当成常数用，根据本方法性规划问题的求解方法求出最优解，
代入目标函数确定最值，
通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．(2)先分
离式含有数的参子，通观过察的方法确定含参的式子(1)满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数． 所若实数x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅
在点(1,0)处得最小值，则实数a取的取值范围是( )A．[－6,2] B．(－6,2)C．[－3,1] D．(－3,1)(2)若实数x，y满足不等式组其中m＞0，
且x＋y的最大值为9，则实数m＝ .(1)B (2)1 [(1)作出约束条件所表示的平面区域，如图所示．7
所以OA2＝()2＝1，OB2＝()2＝5，所以z的取值范围是[1,5]．[母
纵截距仅在点(1,0)处
取得最小值，即目标函数z＝ax＋2y在点(1,0)处中6＜a＜2，故选B.(2)不等式组表示的平面区域如图取得最小值，解得－阴影部分所示，设z＝x＋y，则y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经
过点A时，x＋y有最大值，此时x＋y＝9，由得A(4,5)，
将A(4,5)代入x－my＋1＝0得4－5m＋1＝0，解得m＝1.] 当参数在目标函数中时，应把
率斜影的大小对最值解的优响作为解题
突破口 1.(2019·北京高考．)若x，y满足则y－x的最小值为 ，最大值为．－3 1 [x，y满足的平面区域如图所示．设z＝y－x，则y＝x＋z.把z看
作常数，则目标函数是可平行移动几何线，z的的直意义是直线y＝x＋z的
纵截距，通＝y过图象可知，当直线x＋z经过点A(2,3)时，z取得最大值，此
时zmax＝3－2＝1.当
经B(2，－过点1)时，z取得最小值，此z时min＝－1－2＝－3.]8
将z＝ax＋2y化成y＝－x＋，当－1＜－＜3时，直线y＝－x＋的
因为表示平面区域
内点与定点P的(0,1)连线的斜率由．图知，点P与点A连线的斜率最小，所以min＝kPA＝＝－.]3．已知x，y满足约束条件
且z
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×二、教材改编1．不等式组表示的平面区域是( )C [x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]2．不等式2x－y＋6＞0表示的区域在直线2x－y＋6＝0的( )A．右上方 B．右下方C．左上方 D．左下方B [不等式2x－y＋6＞0可化为y＜2x＋6，结合直线2x－y＋6＝0的位置可知，选B.]3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为 ．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨) [由题意知，x，y满足的关系式为]4．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为 ．3 [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.作出直线y＝－x，并平移该直线，2
当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．由图知A(3,0)，故zmax＝3＋0＝3.]考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 1．求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．2．根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案． (1)不等式组表示的平面区域的面积为 ．(2)已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为 ．(1)1 (2) [(1)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求平面区域的面积．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.(2)直线kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，3
则A(2,2k＋2)，B(2,0)，C(0,2)，由题意知×2×(2k＋2)＝3，解得k＝.] 解答本例T(2)时，直线kx－y＋2＝0恒过定点(0,2)是解题的关键． 1.不等式组所表示的平面区域的面积等于( )A. B. C. D.C [由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.]2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )A．a<5 B．a≥7C．5≤a<7 D．a<5或a≥7C [如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.]3．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ． [直线2x－3y＋6＝0上方的点满足不等式y＞x＋2，∴t＞×(－2)＋2，即t＞.]考点2 求目标函数的最值问题(多维探究)4
取得最小值，最小值为3.] 解答本例T(2)时，首先要把约束条件变为其次设目标函数为z＝2y－x.[教
师备](2018·全国卷Ⅱ)若x，y选例题满足约束条件则z＝x＋y的最大值为 ．5
求线性目标函数的最值 求线性目标函数最值的一般步骤 (1)(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是 ．(2)(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是 ．(1)9 (2)3 [(1)作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.(2)x＋1≤y≤2x可化为其表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在点A(1,2)处
经点B时，z过取得最大值．联立
，得解得所以B(5,4)，故zmax＝5＋4＝9.] 求
非线性目标函数的最值 常
见的两种非线性目标函数及其意义(1)点
到点的距离型：域如形z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区内的动与(x，y)点定点(a，b)的距
离的平方；(2)斜率型：
形如z＝，表示区域内的动(x点，y)与定点(a，b)连线的斜率＝，求 实数x，y满足(1)若z．z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．[解] 由作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z＝表示可行域
内任一点与坐标原点连线的斜率．因此
的范围为直线OB的斜率到直线OA的的(直线斜率OA斜率不存z在，即max不
存B)．由得在(1,2)，所以kOB＝＝2，即zmin＝2，所以z的取值范围是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域
内的任意一点与坐标原点之间距离O因此x2＋y2的最小值为的平方．A2，最大值为OB2.由得A(0,1)，6
9 [画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝x＋y可化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x，并平移，当平移后的直线
题探究](1)保持
本例条件不变，求目标函数z＝的取值范围；(2)保持
本例条件不变，求目标函数z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值．[解] (1)z＝可以
看过点P(1,1)及(x，y)作两点的直线的斜率所以z的取值范围是(－∞，0]．(2)z＝x2＋y2－2x－2y，＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距
离QPQ2，P的平方＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ＝2＝，所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝. 求定点
到区域内动点的距离时最小值的，要数形结合，可能转化为点
到直线的距离问题． 线性规划中的参数问题 求解线性规划中含参问题的两
种基线(1)把参数当成常数用，根据本方法性规划问题的求解方法求出最优解，
代入目标函数确定最值，
通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．(2)先分
离式含有数的参子，通观过察的方法确定含参的式子(1)满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数． 所若实数x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅
在点(1,0)处得最小值，则实数a取的取值范围是( )A．[－6,2] B．(－6,2)C．[－3,1] D．(－3,1)(2)若实数x，y满足不等式组其中m＞0，
且x＋y的最大值为9，则实数m＝ .(1)B (2)1 [(1)作出约束条件所表示的平面区域，如图所示．7
所以OA2＝()2＝1，OB2＝()2＝5，所以z的取值范围是[1,5]．[母
纵截距仅在点(1,0)处
取得最小值，即目标函数z＝ax＋2y在点(1,0)处中6＜a＜2，故选B.(2)不等式组表示的平面区域如图取得最小值，解得－阴影部分所示，设z＝x＋y，则y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经
过点A时，x＋y有最大值，此时x＋y＝9，由得A(4,5)，
将A(4,5)代入x－my＋1＝0得4－5m＋1＝0，解得m＝1.] 当参数在目标函数中时，应把
率斜影的大小对最值解的优响作为解题
突破口 1.(2019·北京高考．)若x，y满足则y－x的最小值为 ，最大值为．－3 1 [x，y满足的平面区域如图所示．设z＝y－x，则y＝x＋z.把z看
作常数，则目标函数是可平行移动几何线，z的的直意义是直线y＝x＋z的
纵截距，通＝y过图象可知，当直线x＋z经过点A(2,3)时，z取得最大值，此
时zmax＝3－2＝1.当
经B(2，－过点1)时，z取得最小值，此z时min＝－1－2＝－3.]8
将z＝ax＋2y化成y＝－x＋，当－1＜－＜3时，直线y＝－x＋的
因为表示平面区域
内点与定点P的(0,1)连线的斜率由．图知，点P与点A连线的斜率最小，所以min＝kPA＝＝－.]3．已知x，y满足约束条件
且z
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