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优 翼 课 件 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 九年级数学上（HK） 教学课件第23章 解直角三角形23.2 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形


1. 掌握解直角三角形的概念；（重点）2. 掌握解直角三角形的依据并能熟练解题. (重点、难点)学习目标


△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C = 90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？c290°导入新课复习引入
∠B=_____；(3)边角之间的关系：sin A =_____，cos A =_____，tan A =_____. 在 Rt
a
c
a
b
b
c
ACBcba(1) 三边之间的关系: a2 + b2 =_____；(2)锐角之间的关系：∠A+


△ABC 中，∠C＝90°， ，求这个直角三角形的其他元素.解：在 Rt
ba==551222，5.cab\=+=
ba==551，，
△ABC 中，a2 + b2 = c2，ABC讲授新课已知两边解直角三角形一典例精析在 Rt
b51
sin.B===
5
△ABC 中，
c2
25
o
\�=B30o90903060.，ooo�=-�=-=AB
15
例1 如图，在 Rt


△ABC 中，根据 AC＝2.4，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4练一练
2222222
AAAACAл�==�=BACBCBCABAC2.4coscos0.4666oAB=�-=-=�+.554.26
∠∠AABB∠=--=�+=∠oooo≈o4266099009
在如图的 Rt


△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝42°6'，c = 287.4，解这个直角三角形 (精确到 0.1).解：
a
∵cosB=，
c
∴Bca��==2.7420013.3.4.782soc
b
∴Bcb��==904172.7..60.4782nsi
∵sinB=，
c
oooo
∠∠BA--=4475='.'64290=09
已知一边及一锐角解直角三角形二例2 如图，在 Rt


△ABC 中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC675°）练一练解：
BC
o
nnsin6si75siAABBCA�==�=oscoscos6cg75o=�==�ACAACABAABg
AB
ooooo
�=�+=-=�-=��ABBA5157090909
在图中的 Rt


事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．ABabcC 在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．归纳总结


△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 45°，a = 1，解这个直角三角形.
oooo
�==-=�-BA.54540909
∟ABCbca练一练解：
a11
∵cA∴sin=a，c====.2
o
sinsin45A
2
2
a1
b===1.
o
tantan45A
已知：如图 Rt


△ABC 中，∠C = 90°，a = 1，b = 1，解这个直角三角形
22
cab==+2
a12
∟ABCbca变式1：解：由勾股定理知：
∴si.nA===
c2
2
o
∴�=A45，
-==-=��ABoooo.45450909
已知：如图 Rt


△ABC 中，∠C = 90°，a = 1，c = ，解这个直角三角形
2
a12
sinA===，
c2
2
o
∴�=A45，
∟ABCbca变式2：解：由题可知：
oooo
=-�=-=�AB95454090，
a1
b===1.
o
tantan45A
已知：如图 Rt


2
AD2
==6.
tanB
3
2
6.
3
解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D.在 △ACD 中，∠C = 45°，AC = 2，∴CD = AD = sin C·AC = 2sin45° = .在 △ABD 中，∠B = 30°，∴BD =构造直角三角形解决问题三例3 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，AC = 2，求 BC.DABC∴BC = CD + BD = +


2
∠B = ，求 BC 的长.22=122=45oABB∵，∠，
122
2
∠B= ，∴∠B = 45°，当 △ABC 为钝角三角形时，如图①，∵AC=13，∴由勾股定理得 CD = 5.∴BC = BD - CD = 12 - 5 = 7.当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.例4 在 △ABC 中，AB = ，AC =13，cos
∴ABDBDAB=.21soc==�
图①解：∵cos


图②当 △ABC 为锐角三角形时，如图②，BC = BD + CD = 12 + 5 = 17.∴BC 的长为 7 或 17.


△ACD 中，当∠A = 55°，b = 20 cm，c = 30 cm 时，例4 在△ABC中，∠A= 55°，b = 20 cm，c = 30 cm，求三角形的面积 S△ABC.ABCD
∵，AbAACDC=�=nissin
11
∴AcbDCBAS�=�=.nis
VABC
22
11
o
AcbS��==5ni5s0302nis
VABC
22
2
�25.8()4cm
解 如图作 AB 边上的高 CD.在 Rt


3
△ABC 中，∠C = 90°，sin A = ，BC = 6，则 AB =（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 D2.如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC = 4， sin B＝ ，则菱形的周长是（　　） A．10 B．20 C．40 D．28 C
5
4
5
ABCDE练一练1.在 Rt


△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AB = 8，则 BC 的长是（　　） D当堂练习
B.4
C.83
D.43
△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD = 3，cos B = ，则 AC 的长为（　　）A．3 B．3.75 C．4.8 D．5 B1.如图，在 Rt
4
543A.4
BCDABCA2.如图，已知 Rt


△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（1）a = 30， b = 20；解：根据勾股定理得：ABCb = 20a = 30c
2222
bac=+==+.13102003
a303
∵tan1.5A====，
b202
∴�=A5o6.3.
∴-==-=��ABo7..ooo333.650909
3.在 Rt


∠B＝72°，c = 14.ABCbac = 14解：
b
∵sinB=3sin14sin721，.3.o=�=��bcB∴
c
a
∵.3.4，cos14cos724oscB=
c
o=�=��acB∴
ooo
∴=-=�A907218.
(2)


△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.DABC6解：∵AD 平分∠BAC，43AD=4363cos243�===ACCADAD∵，30.°�=CAD∴
∴2，CBBA==.36，1∴�=�=BACB6030°°.
4. 如图，在 Rt


1
△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，BC = 5， 试求 AB 的长.解：ACB设∴AB 的长为
3190cos3°�==CA∵，，
AC1
∴=.
AB3
1
222
ABxACx==,，
∵ABACBC+=，
3
2
1
��
22
∴xx=+.5
��
3
��
152152152
∴xx=-=（舍去），..
12
444
5. 如图，在 Rt


AC483
AB..�===462
sinsin603o�B
6. 如图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米?解：如图所示，依题意可知，当∠B = 60° 时，答：梯子的长至少 4.62 米.CAB


解直角三角形依据解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数课堂小结


222
abc+=
�B b的对边
�A a的对边
sin B==
sin A==
斜边c
斜边c
� bA的邻边�Ba 的邻边
cos B==
cos A==
斜边c斜边c
�B b的对边
�A a的对边
tan A==tan B==
� bA的邻边�Ba 的邻边
（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系 ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：（勾股定理）课堂小结