高考总复习GAO KAO ZONG FU XI 第四节　幂函数与二次函数第二章2024


内容索引0102强基础 固本增分研考点 精准突破


课标解读衍生考点核心素养1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3, 的图象,了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数的图象与性质2.二次函数的解析式3.二次函数的图象4.二次函数的性质5.三个“二次”之间的关系1.数学抽象2.直观想象3.数学运算4.逻辑推理


强基础 固本增分


　　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.x微点拨幂函数的特点:①自变量 处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα的系数为1;③只有一项.y=xα
1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数


(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较幂函数图象若与坐标轴有交点,一定交于坐标原点


{x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (-∞,0] (0,+∞) [0,+∞) (-∞,0) (0,+∞) (1,1)


微点拨1.幂函数在(0,+∞)上都有定义;2.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;3.当α0时,y>0,故幂函数的图象一定经过第一象限,一定不过第四象限.


2.二次函数的图象和性质(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的图象和性质




微点拨二次函数系数的特征(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,系数a的正负决定图象的开口方向;(2)- 的值决定图象对称轴的位置;(3)c的取值决定图象与y轴的交点;(4)b2-4ac的正负决定图象与x轴的交点个数.


常用结论1.幂函数y=xα的图象在第一象限的两个重要结论:(1)恒过点(1,1);(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.(1)当n为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于y轴对称;(2)当m,n都为奇数时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称;(3)当m为偶数时,x>0(或x≥0),f(x)既非奇函数也非偶函数,图象只在第一象限(或第一象限及原点处).


3.二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),闭区间为[m,n],


研考点 精准突破


　　)A.-1B.0C.1D.2A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b
考点一考点二考点三考点四考点一幂函数的图象与性质例1(1)幂函数y= (m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(


　(2)D(3)A解析:(1)　从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m2-2m-30时,第一象限图象是单调递增;当αc>b　
考点一考点二考点三考点四答案:(1)B


考点一考点二考点三考点四


　利用二次函数的一般式) 故所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
考点一考点二考点三考点四考点二二次函数的解析式例2.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求二次函数f(x)的解析式.解:(方法1


　利用二次函数的顶点式)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
考点一考点二考点三考点四(方法2


　利用二次函数的两点式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
考点一考点二考点三考点四(方法3


待定系数法,选择规律如下:
考点一考点二考点三考点四规律方法 确定二次函数解析式,一般用


　　　　　. 
考点一考点二考点三考点四对点训练2已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(-2,-1),且图象经过点(1,0),则函数的解析式为f(x)=


考点一考点二考点三考点四(方法2)设所求解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).


考向究)探考向1二次函数的图象例3如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一
部,,图象过点A(-3分0),对称轴为直线x=-1.给
出下面:论四个结①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0,即b2>4ac,①正确;对称轴为直线x=-1,结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为直线x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所
以a2时,f(x)=-ax+1,x0时,开口向上,在对称轴
右满足侧函数单调递增,不,条件,综
上可知,实数a的取值围范是[-3,0].
考点一考点二考点三考点四对点训练4已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1.若f(x)在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值


空:①当a=0时,函数f(x)=-3x+1在R上单调递减,函数在[1,2]上的最小值f(2)=-5≠2,所
以不成立;
考点一考点二考点三考点四第二


考点一考点二考点三考点四


立题例5问 已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成
立,则实数m的取值
范围是　　　　　.:答案 (-∞,-1)
　解析:f(x)>2x+m等
价+x2-x于1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要
使g(x)=x2-3x+1,1]-m>0在[上恒成-1立,只
需使g(x)=x2-函数3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,∴g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-1>0,得m0⇒b4.故b的取值
范围∪(-∞,0)为(4,+∞).
考点一考点二考点三考点四考点四三个“二次”之间的关系例6.已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1.(1)若


考点一考点二考点三考点四(2)F(x)=x2-mx+1-m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4.


统称“三个二次”,它们之间有
着密切的联系,而又是“函数二次三个二次”的核心,通过二次函数的图象
贯穿为一次”的.因此,有关“三个二体问题,数形结合,密切联系图象是
探求解题思路的有效方法.
考点一考点二考点三考点四规律方法 二次函数与二次方程、二次不等式


集是实数,则空集a的取值范围
为(　　)答案:B
　
考点一考点二考点三考点四对点训练6不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解


束
本 课 结