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高考总复习GAO KAO ZONG FU XI 第二节 平面向量基本定理及向量坐标运算第五章2024
内容索引0102强基础 固本增分研考点 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理及其应用2.平面向量的坐标运算3.平面向量共线的坐标表示1.数学抽象2.数学运算
强基础 固本增分
. 其中,
的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
微思考平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗?a=λ1e1+λ2e2 不共线 提示:不一定.该组基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量.微点拨1.基底给定,同一向量的分解形式唯一;2.如果对于一组基底e1,e2,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2(λ1,λ2,μ1,μ2∈R),则可以得到
1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使
,a-b=
数乘已知a=(x1,y1),则λa=
,其中λ是实数 任一向量的坐标已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =
(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) (x2-x1,y2-y1)
2.平面向量的坐标运算 运算坐标表示和(差)若a=b,则x1=x2且y1=y2 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=
微点拨1.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.
.当且仅微点拨 当x2y2≠0时,a∥b与 等价,即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.x1y2-x2y1=0
3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔
常用结论 3.A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1),或(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1),或(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1).
研考点 精准突破
考点一考点二考点三考点一平面向量基本定理及其应用
考点一考点二考点三
考点一考点二考点三
考点一考点二考点三规律方法 平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
考点一考点二考点三
考点一考点二考点三答案:C
)A.2B.3C.4D.5
考点一考点二考点三考点二平面向量的坐标运算例2(1)(2022全国乙,文3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(
考点一考点二考点三
考点一考点二考点三规律方法 平面向量坐标运算的策略 向量问题坐标化向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数
考点一考点二考点三
(2)A
考点一考点二考点三答案:(1)A
考点一考点二考点三(2)以A为原点建立直角坐标系,设B(2,0),C(0,2),则F(1,1),E(1,0),
.答案 :(3,3)
考点一考点二考点三考点三平面向量共线的坐标表示(多考向探究)考向1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为
考点一考点二考点三规律方法 利用两向量共线的条件求向量或点的坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
.答案 :(2,4)
解析:设点P的坐标为(x,y),因为点P1(-1,1),P2(1,3),
考点一考点二考点三对点训练3在平面直角坐标系中,已知点P1(-1, 1),P2(1,3),点P满足 ,则点P的坐标为
)答案:A解析:由向量a=(3,1),b=(1,-2),得a-b=(2,3),a+λb=(3+λ,1-2λ).∵(a-b)∥(a+λb),∴2(1-2λ)=3(3+λ),解得λ=-1.故选A.
考点一考点二考点三考向2利用向量共线求参数例4(2022山西吕梁三模)已知向量a=(3,1),b=(1,-2),且(a-b)∥(a+λb),则实数λ=(
考点一考点二考点三规律方法 如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.
考点一考点二考点三答案:1
本 课 结 束
内容索引0102强基础 固本增分研考点 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理及其应用2.平面向量的坐标运算3.平面向量共线的坐标表示1.数学抽象2.数学运算
强基础 固本增分
. 其中,
的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
微思考平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗?a=λ1e1+λ2e2 不共线 提示:不一定.该组基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量.微点拨1.基底给定,同一向量的分解形式唯一;2.如果对于一组基底e1,e2,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2(λ1,λ2,μ1,μ2∈R),则可以得到
1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使
,a-b=
数乘已知a=(x1,y1),则λa=
,其中λ是实数 任一向量的坐标已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =
(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) (x2-x1,y2-y1)
2.平面向量的坐标运算 运算坐标表示和(差)若a=b,则x1=x2且y1=y2 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=
微点拨1.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.
.当且仅微点拨 当x2y2≠0时,a∥b与 等价,即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.x1y2-x2y1=0
3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔
常用结论 3.A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1),或(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1),或(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1).
研考点 精准突破
考点一考点二考点三考点一平面向量基本定理及其应用
考点一考点二考点三
考点一考点二考点三
考点一考点二考点三规律方法 平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
考点一考点二考点三
考点一考点二考点三答案:C
)A.2B.3C.4D.5
考点一考点二考点三考点二平面向量的坐标运算例2(1)(2022全国乙,文3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(
考点一考点二考点三
考点一考点二考点三规律方法 平面向量坐标运算的策略 向量问题坐标化向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数
考点一考点二考点三
(2)A
考点一考点二考点三答案:(1)A
考点一考点二考点三(2)以A为原点建立直角坐标系,设B(2,0),C(0,2),则F(1,1),E(1,0),
.答案 :(3,3)
考点一考点二考点三考点三平面向量共线的坐标表示(多考向探究)考向1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为
考点一考点二考点三规律方法 利用两向量共线的条件求向量或点的坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
.答案 :(2,4)
解析:设点P的坐标为(x,y),因为点P1(-1,1),P2(1,3),
考点一考点二考点三对点训练3在平面直角坐标系中,已知点P1(-1, 1),P2(1,3),点P满足 ,则点P的坐标为
)答案:A解析:由向量a=(3,1),b=(1,-2),得a-b=(2,3),a+λb=(3+λ,1-2λ).∵(a-b)∥(a+λb),∴2(1-2λ)=3(3+λ),解得λ=-1.故选A.
考点一考点二考点三考向2利用向量共线求参数例4(2022山西吕梁三模)已知向量a=(3,1),b=(1,-2),且(a-b)∥(a+λb),则实数λ=(
考点一考点二考点三规律方法 如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.
考点一考点二考点三答案:1
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