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高考总复习GAO KAO ZONG FU XI第三节 平面向量的数量积及其应用第五章2024
内容索引0102强基础 固本增分研考点 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的运算2.平面向量数量积的应用3.平面向量的综合应用1.直观想象2.数学抽象3.数学运算
强基础 固本增分
1.向量的夹角 (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,记作. 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角微点拨当θ=0°时,两向量a,b共线且同向;当θ=90°时,两向量a,b相互垂直,记作a⊥b;当θ=180°时,两向量a,b共线但反向.
叫做a与b的数量积,记作a·b 投影
叫做向量a在b方向上的投影, 叫做向量b在a方向上的投影 几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积微点拨零向量与任意向量的数量积为0;投影和两向量的数量积都是数量,不是向量.|a||b|cos θ |a|cos θ |b|cos θ
2.平面向量的数量积 定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量
微思考 两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗? 提示:不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.
3.向量数量积的运算律 交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)微点拨实数运算满足消去律:若ab=ca,a≠0,则b=c.而在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c.即向量的数量积运算不满足消去律.微思考(a·b)c一定等于a(b·c)吗?提示:不一定.这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.即向量数量积的运算不满足乘法结合律.
4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.微点拨当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|. a·b=0 x1x2+y1y2=0
常用结论平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
研考点 精准突破
(2)C
考点一考点二考点一平面向量数量积的运算答案:(1)11
考点一考点二
考点一考点二规律方法 求非零向量a,b的数量积的三种方法 直接法若两向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重合,再计算几何法根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标法若图形适合建立平面直角坐标系,可建立坐标系,求出a,b的坐标,通过坐标运算求解
.
考点一考点二(2)(2022河南洛阳一模)若向量m=(2k,k+1)与向量n=(4,1)共线,则m·n=
考点一考点二答案:(1)A (2)-17 解析:(1)建立如图所示的平面直角坐标系.当弦MN的长度最大时,MN是圆的直径.不妨设M(cos θ,sin θ),P(x,-1),x∈[-1,1],则N(-cos θ,-sin θ).(2)因为向量m=(2k,k+1)与向量n=(4,1)共线,所以2k-4(k+1)=0,得k=-2,所以m·n=8k+k+1=9k+1=-17.
. (2)(2022江西赣州二模)已知向量a=(1,2),b=(-1,1),若(λa+b)⊥b,则λ的值为(
)A.-2B.-1C.1D.2
考点一考点二考点二平面向量数量积的应用(多考向探究)考向1平面向量的垂直问题例2(1)(2022全国甲,文13)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=
(2)A解析:(1)因为a⊥b,则a·b=m+3m+3=0,解得m=- .(2)∵a=(1,2),b=(-1,1),(λa+b)⊥b,∴(λa+b)·b=0,又λa+b=(λ-1,2λ+1),∴(λ-1,2λ+1)·(-1,1)=0,整理,得1-λ+2λ+1=0,λ=-2.故选A.
考点一考点二答案:(1)-
考点一考点二规律方法 平面向量垂直问题的两个类型 利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数
.)(2 设θ∈(0,π),向量a= ,b=(cos θ,sin θ),若(a-b)⊥b,则tan θ=
.
考点一考点二对点训练2(1) 已知单位向量a,b的夹角为60°,a-kb与b垂直,则实数k=
考点一考点二
)(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则 的最
小值为 .
考点一考点二考向2平面向量模的问题例3(1) 已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=1,则|2a+b|=(
(2)5
考点一考点二答案:(1)D
向量模的运算转化量积运算几何法为数利用向量的几何意义,即利用向量
加、减法的平行四边形法则三或角形法则作出向量,再利用
余弦定理等方法求解
考点一考点二规律方法 求平面向量模的两种方法 公式法利用|a|= 及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把
)
考点一考点二对点训练3(1) 已知向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,则|a-2b|=(
(2)B)解析:(1 向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,所以a·b=6-2m=0,解得m=3,所以b=(1,3),a-2b=(4,-8),
考点一考点二答案:(1)B
高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则实数t=(
)A.-6B.-5C.5D.6(2)(2022山
西太原已模)二知向量a,b满足3|a|=2|b|=3,若|a+2b|= ,则向量a与向量b的夹角的
余弦值为 .
考点一考点二考向3平面向量的夹角问题例4(1)(2022新
考点一考点二
考点一考点二规律方法 求平面向量夹角的两种方法
正切值为(( ) 2) 若向量a,b满足|a|=2,|b|= ,且(a-b)⊥(2a+3b),则a与b夹角的
余弦值为(
)
考点一考点二对点训练4(1) 已知a=(1,2),b=(m,1),c=(3,-4),若(a+b)⊥c,则向量a,b夹角的
(2)D解析: (1)由题意知a+b=(m+1,3),又(a+b)⊥c,∴3(m+1)-12=0,可得m=3.∴b=(3,1).
考点一考点二答案:(1)B
束
本 课 结
内容索引0102强基础 固本增分研考点 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的运算2.平面向量数量积的应用3.平面向量的综合应用1.直观想象2.数学抽象3.数学运算
强基础 固本增分
1.向量的夹角 (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,记作. 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角微点拨当θ=0°时,两向量a,b共线且同向;当θ=90°时,两向量a,b相互垂直,记作a⊥b;当θ=180°时,两向量a,b共线但反向.
叫做a与b的数量积,记作a·b 投影
叫做向量a在b方向上的投影, 叫做向量b在a方向上的投影 几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积微点拨零向量与任意向量的数量积为0;投影和两向量的数量积都是数量,不是向量.|a||b|cos θ |a|cos θ |b|cos θ
2.平面向量的数量积 定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量
微思考 两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗? 提示:不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.
3.向量数量积的运算律 交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)微点拨实数运算满足消去律:若ab=ca,a≠0,则b=c.而在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c.即向量的数量积运算不满足消去律.微思考(a·b)c一定等于a(b·c)吗?提示:不一定.这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.即向量数量积的运算不满足乘法结合律.
4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.微点拨当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|. a·b=0 x1x2+y1y2=0
常用结论平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
研考点 精准突破
(2)C
考点一考点二考点一平面向量数量积的运算答案:(1)11
考点一考点二
考点一考点二规律方法 求非零向量a,b的数量积的三种方法 直接法若两向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重合,再计算几何法根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标法若图形适合建立平面直角坐标系,可建立坐标系,求出a,b的坐标,通过坐标运算求解
.
考点一考点二(2)(2022河南洛阳一模)若向量m=(2k,k+1)与向量n=(4,1)共线,则m·n=
考点一考点二答案:(1)A (2)-17 解析:(1)建立如图所示的平面直角坐标系.当弦MN的长度最大时,MN是圆的直径.不妨设M(cos θ,sin θ),P(x,-1),x∈[-1,1],则N(-cos θ,-sin θ).(2)因为向量m=(2k,k+1)与向量n=(4,1)共线,所以2k-4(k+1)=0,得k=-2,所以m·n=8k+k+1=9k+1=-17.
. (2)(2022江西赣州二模)已知向量a=(1,2),b=(-1,1),若(λa+b)⊥b,则λ的值为(
)A.-2B.-1C.1D.2
考点一考点二考点二平面向量数量积的应用(多考向探究)考向1平面向量的垂直问题例2(1)(2022全国甲,文13)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=
(2)A解析:(1)因为a⊥b,则a·b=m+3m+3=0,解得m=- .(2)∵a=(1,2),b=(-1,1),(λa+b)⊥b,∴(λa+b)·b=0,又λa+b=(λ-1,2λ+1),∴(λ-1,2λ+1)·(-1,1)=0,整理,得1-λ+2λ+1=0,λ=-2.故选A.
考点一考点二答案:(1)-
考点一考点二规律方法 平面向量垂直问题的两个类型 利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数
.)(2 设θ∈(0,π),向量a= ,b=(cos θ,sin θ),若(a-b)⊥b,则tan θ=
.
考点一考点二对点训练2(1) 已知单位向量a,b的夹角为60°,a-kb与b垂直,则实数k=
考点一考点二
)(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则 的最
小值为 .
考点一考点二考向2平面向量模的问题例3(1) 已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=1,则|2a+b|=(
(2)5
考点一考点二答案:(1)D
向量模的运算转化量积运算几何法为数利用向量的几何意义,即利用向量
加、减法的平行四边形法则三或角形法则作出向量,再利用
余弦定理等方法求解
考点一考点二规律方法 求平面向量模的两种方法 公式法利用|a|= 及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把
)
考点一考点二对点训练3(1) 已知向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,则|a-2b|=(
(2)B)解析:(1 向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,所以a·b=6-2m=0,解得m=3,所以b=(1,3),a-2b=(4,-8),
考点一考点二答案:(1)B
高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则实数t=(
)A.-6B.-5C.5D.6(2)(2022山
西太原已模)二知向量a,b满足3|a|=2|b|=3,若|a+2b|= ,则向量a与向量b的夹角的
余弦值为 .
考点一考点二考向3平面向量的夹角问题例4(1)(2022新
考点一考点二
考点一考点二规律方法 求平面向量夹角的两种方法
正切值为(( ) 2) 若向量a,b满足|a|=2,|b|= ,且(a-b)⊥(2a+3b),则a与b夹角的
余弦值为(
)
考点一考点二对点训练4(1) 已知a=(1,2),b=(m,1),c=(3,-4),若(a+b)⊥c,则向量a,b夹角的
(2)D解析: (1)由题意知a+b=(m+1,3),又(a+b)⊥c,∴3(m+1)-12=0,可得m=3.∴b=(3,1).
考点一考点二答案:(1)B
束
本 课 结
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