高考总复习GAO KAO ZONG FU XI 第九节　函数模型及其应用第二章2024


内容索引0102强基础 固本增分研考点 精准突破


课标解读衍生考点核心素养1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.用函数图象刻画变化过程2.已知函数模型解决实际问题3.构建函数模型解决实际问题1.数学建模2.数学运算3.直观想象


强基础 固本增分


1.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(3)反比例函数模型:f(x)= (k为常数,k≠0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);




2.三种函数模型的性质 递增 递增 y轴 x轴


微点拨幂函数模型y=xn(n>0)可以描述增长速度不同的变化,当n值较小(n≤1)时,增长较慢;当n值较大(n>1)时,增长较快.常用结论“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度随x变大而变慢.


研考点 精准突破


　　)A.2.72分钟B.2.81分钟C.2.92分钟D.3.02分钟
考点一考点二考点一已知函数模型解决实际问题例1(1)(2023江西教学质量监测)茶文化起源于中国,中国的饮茶历史据说始于神农时代.现代研究结果显示,饮茶时,茶的温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟,2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃.给出三个茶的温度T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=at+b(a0,02x2+6x+50,即x赢利2-12x+25<0,∵x∈N*,∴3≤x≤9,∴该
营车开运第3年始赢利.
考点一考点二解:(1)∵客车每年


如下:方案①:赢利
总30y1=额x-(2x2+6x+50)=-2x2+24x-50=-2(x-6)2+22,∴x=6时,赢利
总额达到最大值为22万元.∴6年
后卖出客车,可获利润总额万22+为0=321元.∴x=5时
年平均赢利总额达到最大值4万元.∴5年
后卖出客车,可获利润总额4×5为12=32+万元.∵两
种方案的利润总额一样,但方案②间的时短,∴方案②合算.
考点一考点二(2)方案②合算.理由


个 解决一、二次函数模型问题的3 注意点(1)二次函数的最值一
般利用方法配但与函数的单调性解决,一定要密切注意
函数的定义域,否则极易出错;(2)确
次函数模型时,一定一般是助两借个点来确定,常用待数定系法;(3)解决函数应用问题时,最后要
还原到实际问题.
考点一考点二规律方法


训练2迷你KTV是一类新型的娱乐设外,施形通常是由玻璃墙分隔成的类
似电话亭的小房,间近几年投放在各大城市的商场受中,到年轻人的
欢迎.如图是某间迷你KTV的横截面示意 ,其中AB=AE= 图,∠A=∠B=∠E=90°,曲
线段CD是圆心角为90°的圆弧,设该你迷KTV横截面
的面积为S,周为长L,则 大值为的最题中　　　.(本　　取π进行=3
计算) 
考点一考点二对点


考点一考点二


向2 构建指数、对数函数模型例3据观测
统计,某湿地园公某种珍稀鸟类的现有约1 000个数只,并以平均每年8%的速度增加.(1)求两年
后这种珍稀鸟;的大约个数类(2)写
出y(珍稀鸟的个数类)关于x(经过的年数)的函数关系式;(3)约
经过多少年这种以后,鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上?(结果为
整0)(参考数据:lg 2≈数.301 0,lg 3≈0.477 1)
考点一考点二考


意,一年后这种鸟数约为1 000类的个+1 000×8%=1 080.两年
后这种鸟×个数约为1 080+1 080类的8%≈1 166.(2)由
题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只,以并平均每年8%的速度增加,则所求
的函数关系式1 000y=为×1.08x,x∈N.(3)令1 000×1.08x≥3×1 000,得1.08x≥3两边取
常用对数得:lg 1.08x≥lg 3,即xlg 1.08≥lg 3.
考点一考点二解:(1)依题


1.有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型y=N(1+p)x表
示(其中N为基础数,p为增长率,x为时间).2.有
关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解要式,析求根据实际情况求
出函数解析式中的参数,或给出具体从中境情,提炼出数据,代入解析式求
,然值值后根据答回其实际意义.
考点一考点二规律方法


城练3(2022山东聊训一模)某化工厂产生的废气中污染物g/含量为1.2 m的cm3,排放前每
过滤一次,该污染物的含量都会减少20%.当地环保部门
要求废气中该污染物的含量不能若0.2 m超过cm3,g/要使该工厂的废气达
标么,那排放该前污染物排放需要过滤的次数至少为(:　)(参考数据　lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)A.5B.7C.8D.9
考点一考点二对点


考点一考点二答案:D


向3 构建分段函数模型例4某地
铁项目正在紧张建设中,通车后将给多更市民出行带来利便,已知该线
路通车后,地铁的发车时间间)t(单位:分钟隔满足2≤t≤20,t∈N*,经
,在某一时段,地测算客铁载量与发车时间间隔t相关,当10≤t≤20时地
铁可达到满载状态,载客1 200人,量为2≤t<10时,当载客量会减减少,
少的人的数与(-t)10平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时客载记560量为人,
地铁载客(为p(t).量1)求p(t)的解
析式;(2)若
该时段这条线路每分钟的净收益 Q= 为 -360(元),问当发车
间时间隔为多时段这少时,该条线路每分钟的净收益最大?
考点一考点二考


考点一考点二


最大值24,由①②可知,当发
车时间间隔这t=6分钟时为,该时段条线路每分钟的净收益
最大,最大为120元.
考点一考点二当t=10时Q取


分段函数主是要每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其
作为几个不同问题,将各段的规律找再出来,将其合在一起.要注意各
段变量的范围,特别是端点.
考点一考点二规律方法


训练4某数字技术股份有限公司
在习主席“企业持续发展之基、市
场制胜之道在于创新的”号召下,研制出了一种
新产品.该
公司试制了一批样品分别在国内
和国外上市且销售,并价格根据
不断进行调结果,整40天内全部销公司.完对销售及销售利润进行了调研,结果如图
销售情况
所①,其中图示(一条折一)线②(、图条抛物线段)分别是国外和
国内市场的日销售时间上市量与的关系,图③是每件样品的销售利润关系上市时间的与.(1)分别
写出国外市场的日销售国内市f(t)与上市时间t的关量,系场的日销售g(t量)与上市时间t的关系及
每件样品的与上市利润q(t)销售时间t的关系;(2)该产
品上市后,问哪一天这家公司的日润售利销最大?最大是多少?
考点一考点二对点


考点一考点二


上所(,Q(t)max=Q述27)=6 399.答:第27天
这家公司的日销售利润,大最最大值为6 399万元.
考点一考点二从而Q(t)max=Q(27)=6 399;③当30

束
本 课 结