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高考总复习GAO KAO ZONG FU XI 第五节 空间直线、平面的垂直关系第八章2024
内容索引0102强基础 固本增分研考点 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中直线、平面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1.与线、面垂直(平行)相关命题的判断2.线面垂直的判定及性质3.面面垂直的判定及性质4.平行、垂直关系的综合应用1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算
强基础 固本增分
1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直. “任意”与“所有”是同义的,但与“无数”不同
(2)判定定理与性质定理 l⊥a l⊥b a⊂α b⊂α 平行 a⊥α b⊥α
微思考 若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗?提示:垂直.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直,根据异面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角,即垂直于平面内的这两条相交直线,所以垂直于这个平面.
所成的叫 做这条直线和这个平面所成的角.
(2)线面角的范围:
.直于平微点拨一条直线垂 面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角.加上斜线与平面所成的角,故线面角范围是[0°,90°].射影 锐角 [0°,90°]
2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的
所组成的图形叫做二面角; 二面角是一个几何图形 (2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作
的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围:[0°,180°].微点拨二面角的平面角定义中有三个关键词:一是“棱上一点”,二是“在两个半平面内”,三是“作棱的垂线”.两个半平面 垂直于棱
3.二面角(1)定义:从一条直线出发的
,就说这两个平面互相垂直.
直二面角
4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是
(2)判定定理与性质定理 垂线 l⊥α l⊂β α⊥β α∩β=a l⊥a l⊂β
微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直线m⊥l,则m与平面β一定垂直吗?提示:不一定,直线m⊂α时,才有m⊥β.
常用结论1.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.2.三垂线定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
研考点 精准突破
)(2)(2022全国乙,文9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(
)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D
考点一考点二考点三考点四考点五考点一与直线、平面垂直(平行)相关命题的判断例1(1) 已知三条不重合的直线m,n,l,三个不重合的平面α,β,γ,下列命题中正确的是(
(2)A解析:(1)A.因为m⊥l,n⊥l,所以m∥n或者m与n相交或者m,n异面,所以A不正确;B.因为垂直于同一条直线的两个平面平行,所以B正确;C.因为垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,所以C不正确;D.由 得n∥α或n⊂α,所以D不正确.
考点一考点二考点三考点四考点五答案:(1)B
考点一考点二考点三考点四考点五(2)如图,对于A,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF⊂平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正确.对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD.假设平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1⊄平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC⊄平面B1EF,EF⊂平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.
考点一考点二考点三考点四考点五又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,显然不成立,∴假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直.故B错误.对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,∴平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误.
考点一考点二考点三考点四考点五规律方法 判断与空间平行、垂直关系有关的命题真假的方法(1)借助几何图形来说明线面关系.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明.
)A.若l⊥α,α∥β,则l⊥βB.若l∥α,l∥β,则α∥βC.若l⊥α,α⊥β,则l⊂βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β(2) 若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊥α,n⊂β,则“m∥n”是“α⊥β”的(
)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考点一考点二考点三考点四考点五对点训练1(1) 设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下结论正确的是(
(2)A解析:(1)选项A.若两平面平行,则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面,故A正确;选项B.若α∩ β=m,l∥m,且直线l不在平面α和β内,此时满足l∥α,l∥β,故B不正确;选项C.若l⊥α,α⊥β,则直线l可能满足l⊂β,也可能满足l∥β,故C不正确;选项D.若l∥α,α⊥β,则直线l可能在平面β内,可能与平面β相交,也可能l∥β,故D不正确.(2)若m∥n,∵m⊥α,∴n⊥α.又n⊂β,由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴“m∥n”是“α⊥β”的充分条件;若α⊥β,如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,记平面BCC'B'为α,记平面ABCD为β,A'B'为直线m,AD为直线n,满足条件α⊥β,m⊥α,n⊂β,但m,n不平行,∴“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要条件.
考点一考点二考点三考点四考点五答案:(1)A
考点一考点二考点三考点四考点五考点二直线、平面垂直的判定及性质(多考向探究)考向1直线与平面垂直的判定例2如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
考点一考点二考点三考点四考点五由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC且OB∩AC=O,知PO⊥平面ABC.
考点一考点二考点三考点四考点五(2)解:作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.
利线面垂直的性质证明线线垂直用,这是线面垂直的判定定理的常
见应用,其思维流程为:
考点一考点二考点三考点四考点五规律方法 证明直线与平面垂直后,再
柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF.
考点一考点二考点三考点四考点五对点训练2如图所示,在直三棱
柱ABC-A1B1C1中,因为BB1⊥底
面ABC,AD⊂底,ABC面所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B=B,BC⊂平面B1BCC1,B1B⊂平面B1BCC1,所以AD⊥平面B1BCC1.因为B1F⊂平面B1BCC1,所以AD⊥B1F.
考点一考点二考点三考点四考点五证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.在直三棱
三角形全等明线证线垂直)在矩1B1BCC形中,因为C1F=CD=1,B1C1=CF=2,所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1,所以∠CFD=∠C1B1F.所以∠B1FD=90°,所以B1F⊥FD.因为AD∩FD=D,AD⊂平面ADF,FD⊂平面ADF,所以B1F⊥平面ADF.
考点一考点二考点三考点四考点五(方法1
勾股理证明线线垂直)在Rt△B定1BD中,BD=CD=1,BB1=3, 显然DF2+B1F2=B1D2,所以∠B1FD=90°.所以B1F⊥FD.因为AD∩FD=D,AD⊂平面ADF,FD⊂平面ADF,所以B1F⊥平面ADF.
考点一考点二考点三考点四考点五(方法2
边D形ABC为矩D,PA=AB=1,A形=2,点F是PB的中点,点E在
边BC上1动.(移)求三棱锥E-PAD的体
积;(2)证明:无论点E在
边BC的何,处都有AF⊥PE.
考点一考点二考点三考点四考点五考向2直线与平面垂直的性质例3如图,PA⊥平面ABCD,四
边形ABCD为矩2, ,PA=AB=1,AD=形(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又PA=AB=1,且点F是PB的中点,∴AF⊥PB.又PA⊥BC,BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.又AF⊂平面PAB,∴BC⊥AF.又PE⊂平面PBC,∴无论点E在
边BC的何,处都有AF⊥PE.
考点一考点二考点三考点四考点五(1)解:∵PA⊥平面ABCD,四
基本方法 线面垂直法证明一条直线垂直于
经过另一直线的平面计
算角度法计算两条直线所成角等常90于°,用勾股定理或三角形相似
考点一考点二考点三考点四考点五规律方法 证明线线垂直的2种
底面ABCD的中心,求证:B1O⊥AP.
考点一考点二考点三考点四考点五对点训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为D1D的中点,O为
线面垂直法)如图①,易证AB1=CB1.又因为O为AC的中点,所以B1O⊥AC.在
矩BDD1B1中,O,P分别为BD,形D1D的中点.易证Rt△POD∽Rt△OB1B,所以∠POD=∠OB1B.因为∠OB1B+∠BOB1=90°,所以∠POD+∠BOB1=90°,所以∠POB1=90°,所以B1O⊥PO.又AC∩PO=O,所
内容索引0102强基础 固本增分研考点 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中直线、平面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1.与线、面垂直(平行)相关命题的判断2.线面垂直的判定及性质3.面面垂直的判定及性质4.平行、垂直关系的综合应用1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算
强基础 固本增分
1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直. “任意”与“所有”是同义的,但与“无数”不同
(2)判定定理与性质定理 l⊥a l⊥b a⊂α b⊂α 平行 a⊥α b⊥α
微思考 若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗?提示:垂直.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直,根据异面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角,即垂直于平面内的这两条相交直线,所以垂直于这个平面.
所成的叫 做这条直线和这个平面所成的角.
(2)线面角的范围:
.直于平微点拨一条直线垂 面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角.加上斜线与平面所成的角,故线面角范围是[0°,90°].射影 锐角 [0°,90°]
2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的
所组成的图形叫做二面角; 二面角是一个几何图形 (2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作
的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围:[0°,180°].微点拨二面角的平面角定义中有三个关键词:一是“棱上一点”,二是“在两个半平面内”,三是“作棱的垂线”.两个半平面 垂直于棱
3.二面角(1)定义:从一条直线出发的
,就说这两个平面互相垂直.
直二面角
4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是
(2)判定定理与性质定理 垂线 l⊥α l⊂β α⊥β α∩β=a l⊥a l⊂β
微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直线m⊥l,则m与平面β一定垂直吗?提示:不一定,直线m⊂α时,才有m⊥β.
常用结论1.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.2.三垂线定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
研考点 精准突破
)(2)(2022全国乙,文9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(
)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D
考点一考点二考点三考点四考点五考点一与直线、平面垂直(平行)相关命题的判断例1(1) 已知三条不重合的直线m,n,l,三个不重合的平面α,β,γ,下列命题中正确的是(
(2)A解析:(1)A.因为m⊥l,n⊥l,所以m∥n或者m与n相交或者m,n异面,所以A不正确;B.因为垂直于同一条直线的两个平面平行,所以B正确;C.因为垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,所以C不正确;D.由 得n∥α或n⊂α,所以D不正确.
考点一考点二考点三考点四考点五答案:(1)B
考点一考点二考点三考点四考点五(2)如图,对于A,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF⊂平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正确.对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD.假设平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1⊄平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC⊄平面B1EF,EF⊂平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.
考点一考点二考点三考点四考点五又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,显然不成立,∴假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直.故B错误.对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,∴平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误.
考点一考点二考点三考点四考点五规律方法 判断与空间平行、垂直关系有关的命题真假的方法(1)借助几何图形来说明线面关系.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明.
)A.若l⊥α,α∥β,则l⊥βB.若l∥α,l∥β,则α∥βC.若l⊥α,α⊥β,则l⊂βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β(2) 若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊥α,n⊂β,则“m∥n”是“α⊥β”的(
)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考点一考点二考点三考点四考点五对点训练1(1) 设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下结论正确的是(
(2)A解析:(1)选项A.若两平面平行,则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面,故A正确;选项B.若α∩ β=m,l∥m,且直线l不在平面α和β内,此时满足l∥α,l∥β,故B不正确;选项C.若l⊥α,α⊥β,则直线l可能满足l⊂β,也可能满足l∥β,故C不正确;选项D.若l∥α,α⊥β,则直线l可能在平面β内,可能与平面β相交,也可能l∥β,故D不正确.(2)若m∥n,∵m⊥α,∴n⊥α.又n⊂β,由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴“m∥n”是“α⊥β”的充分条件;若α⊥β,如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,记平面BCC'B'为α,记平面ABCD为β,A'B'为直线m,AD为直线n,满足条件α⊥β,m⊥α,n⊂β,但m,n不平行,∴“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要条件.
考点一考点二考点三考点四考点五答案:(1)A
考点一考点二考点三考点四考点五考点二直线、平面垂直的判定及性质(多考向探究)考向1直线与平面垂直的判定例2如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
考点一考点二考点三考点四考点五由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC且OB∩AC=O,知PO⊥平面ABC.
考点一考点二考点三考点四考点五(2)解:作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.
利线面垂直的性质证明线线垂直用,这是线面垂直的判定定理的常
见应用,其思维流程为:
考点一考点二考点三考点四考点五规律方法 证明直线与平面垂直后,再
柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF.
考点一考点二考点三考点四考点五对点训练2如图所示,在直三棱
柱ABC-A1B1C1中,因为BB1⊥底
面ABC,AD⊂底,ABC面所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B=B,BC⊂平面B1BCC1,B1B⊂平面B1BCC1,所以AD⊥平面B1BCC1.因为B1F⊂平面B1BCC1,所以AD⊥B1F.
考点一考点二考点三考点四考点五证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.在直三棱
三角形全等明线证线垂直)在矩1B1BCC形中,因为C1F=CD=1,B1C1=CF=2,所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1,所以∠CFD=∠C1B1F.所以∠B1FD=90°,所以B1F⊥FD.因为AD∩FD=D,AD⊂平面ADF,FD⊂平面ADF,所以B1F⊥平面ADF.
考点一考点二考点三考点四考点五(方法1
勾股理证明线线垂直)在Rt△B定1BD中,BD=CD=1,BB1=3, 显然DF2+B1F2=B1D2,所以∠B1FD=90°.所以B1F⊥FD.因为AD∩FD=D,AD⊂平面ADF,FD⊂平面ADF,所以B1F⊥平面ADF.
考点一考点二考点三考点四考点五(方法2
边D形ABC为矩D,PA=AB=1,A形=2,点F是PB的中点,点E在
边BC上1动.(移)求三棱锥E-PAD的体
积;(2)证明:无论点E在
边BC的何,处都有AF⊥PE.
考点一考点二考点三考点四考点五考向2直线与平面垂直的性质例3如图,PA⊥平面ABCD,四
边形ABCD为矩2, ,PA=AB=1,AD=形(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又PA=AB=1,且点F是PB的中点,∴AF⊥PB.又PA⊥BC,BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.又AF⊂平面PAB,∴BC⊥AF.又PE⊂平面PBC,∴无论点E在
边BC的何,处都有AF⊥PE.
考点一考点二考点三考点四考点五(1)解:∵PA⊥平面ABCD,四
基本方法 线面垂直法证明一条直线垂直于
经过另一直线的平面计
算角度法计算两条直线所成角等常90于°,用勾股定理或三角形相似
考点一考点二考点三考点四考点五规律方法 证明线线垂直的2种
底面ABCD的中心,求证:B1O⊥AP.
考点一考点二考点三考点四考点五对点训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为D1D的中点,O为
线面垂直法)如图①,易证AB1=CB1.又因为O为AC的中点,所以B1O⊥AC.在
矩BDD1B1中,O,P分别为BD,形D1D的中点.易证Rt△POD∽Rt△OB1B,所以∠POD=∠OB1B.因为∠OB1B+∠BOB1=90°,所以∠POD+∠BOB1=90°,所以∠POB1=90°,所以B1O⊥PO.又AC∩PO=O,所
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