第2节　函数的单调性与最值考试要求　1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1 f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f ( x ) ≤ M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f ( x ) ≥ M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间为


[－，0)，(0，].1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　)(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　)(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)0，得x>4或x0，得x5.令t＝x2－4x－5，则函数t＝x2－4x－5在(－∞，－1)单调递减，在(5，＋∞)单调递增，函数y＝lg t为增函数，故要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则有(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，即a≥5.5.函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________.答案　2解析　函数y＝＝1＋在[2，3]上递减，当x＝2时，y＝取得最大值＝2.6.(易错题)函数f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，若f(a＋1)0，得－20，x1－10时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.感悟提升　确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断.(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，


不能用“∪”连接.(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.训练1 (1)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________.答案　[1，2]解析　f(x)＝画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1，2].(2)已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增.证明　法一　(定义法)设x1>x2>0，f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝，∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，当x1，x2∈(0，]时，0a，∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[，＋∞)上单调递增.法二　(导数法)f′(x)＝1－＝(x>0)，令f′(x)>0⇒x2－a>0⇒x>，令f′(x)b>a B.a>b>cC.c>a>b D.a>c>b答案　D解析　由f(－x)－f(x)＝0，知f(x)是偶函数，易知f(x)＝－2－x在[0，＋∞)上单调递增.因为a＝f(－31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝f＝f(－log35)＝f(log35)，且31.2>3，1＝log33log35>3－0.2>0，所以f(31.2)>f(log35)>f(3－0.2)，即a>c>b.角度2　求最值例4 函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.答案　3解析　由于y＝在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.角度3　解不等式例5 (1)已知函数f(x)＝当x∈[m，m＋1]时，不等式f(2m－x)x＋m，即2x0的解集为______.(2)(2022·宣城模拟)已知函数f(x)＝ －，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为(　　)A.c0成立，那么实数a的取值范围是()A.(0，2) B.(1，2)C.(1，＋∞) D.答案　(1)4　(2)D解析　(1)易知f(x)在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增，且x22－2＝1，∴f(x)min＝f(2)＝1.又a≤f(x)≤b的解集恰好为[a，b]，∴必然有a≤1，此时22－1＝2，所以b≥2.依题设，b2－3b＋4＝b，解得b＝4或b＝(舍).令22－x＝4，得x＝0，所以a＝0，于是b－a＝4.(2)因为对任意x1≠x2，都有>0，所以y＝f(x)在R上是增函数，所以解得≤a函数等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，则2x＋1>－x＋2，即x>，故不等式的解集为.(2)函数f(x)＝－是R上的减函数，又log380在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数.又2＝log24－1的实数x的取值范围是(　　)A.(3，＋∞) B.(－∞，3)C.[2，3) D.[0，3)答案　C
当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.1.函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是(　　)A.(3，＋∞) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－∞，－1)答案　A解析　由已知易得即x>3，f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5[(x＋1)(x－3)]，x>3，令t(x)＝(x＋1)(x－3)，则t(x)在(3，＋∞)上单调递增.又00时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数.因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2－1可化为f(2x－4)>f(2)，∴解得2≤x0，所以0f(x)，则实数x的取值范围是(　　)A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)答案　D解析　∵当x＝0时，两个


别∴M，m，则＝________.答案　解析　f(x)＝＝＝2＋在[3，4]上是减函数，为f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6，∴M＝6，m＝4，∴＝＝.9.设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)解析　函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(00，2x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)a>cC.cx2>0，∵0，∴x2f(x1)－x1f(x2)f(2)；③若f(x)在(a，a＋1)上为增函数，则a≤－1或a≥0；④当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，e].A.1 B.2 C.3 D.4答案　B解析　易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上是增函数，故①错
误，②正若确；f(x)在(a，a＋1)上为增函数，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故③正
确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，e]，故x∈[－1，1]时，f(x)∈(－∞，e]，故④错
误.14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0时，f(x)>－1.
又∵f(x)在R上单调递增，∴x4.解　(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数.(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＝f(x2＋2x＋1－x)－1>4，得f(x2＋x＋1)>f(3).因为函数f(x)在R上是增函数，所以x2＋x＋1>3，解得x1，故原不等式的解集为{x|x1}.
(1)求f(0)的值，