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第4节 幂函数与二次函数考试要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0)(a0；当时，恒有f(x)0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错误.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x＝－，当－不在给定定义域内时，最值不是，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( )A.f(x)＝－x B.f(x)＝C.f(x)＝x2 D.f(x)＝
答案 D解析 取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意.故选D.3.(易错题)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________.答案 解析 当m＝0时，函数在给定区间上是增函数；当m≠0时，二次函数的对称轴为直线x＝－，依题意知∴m≤－.4.(易错题)已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)1，03－2a>0或3－2a1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 考点二 二次函数的解析式例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解 法一 (利用“一般式”)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得解得∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二 (利用“顶点式”)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.法三 (利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.感悟提升 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：训练1 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.答案 (1)x2＋2x＋1 (2)x2－4x＋3解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2a＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
号).①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b0)，若f(m)0 D.f(m＋1)0，c>0，∴b>0，ac0，故①正确；又由题图知f(－1)0，所以f(x)的大致图象如图所示.
(2)因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3. 考点三 二次函数的图象和性质角度1 二次函数的图象例2 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示.则下列结论正确的是______(填序
上，a的取值范围为[－3，0].(2)(2021·西安模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.解 ①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝.(ⅰ)当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上递减，在上递增.∴f(x)min＝f＝－＝－.(ⅱ)当>1，即00>－，所以f(m＋1)>f(0)>0.角度2 二次函数的单调性与最值例3 (1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A.[－3，0) B.(－∞，－3]C.[－2，0] D.[－3，0]答案 D解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________.答案 (1) (2)2解析 (1)由题意知2ax2＋2x－31，x∈[－1，1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以11或x0时，要
使＋数y＝kx2－4x函2在区间[1，2]上是增函数，
只≤1需，解得k≥2；当k1)的定义域和值域都为[1，a]，则b＝________.答案 5解析 f(x)＝x2－2ax＋b的图象关于x＝a对称，所以f(x)在[1，a]上为减函数，又f(x)的值域为[1，a]，所以消
去b，得a2－3a＋2＝0，解得a＝2(a>1)，从而
得b＝3a－1＝5.9.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一
切x的值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为________.答案
数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，
只(一个根，求f有x)的表达
式；(2)在(1)的条件下，当x∈[3，5]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.解 (1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.因为方程f(x)＝0有且
只)所以Δ＝b2－4a＝0.所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.所以f(x有一个根，＝x2＋2x＋1.(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝＋1－.由g(x)的图象知，要满足题意，则≥5或≤3，即k≥12或k≤8，所以所求实数k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞).11.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，又f(0)＝1，所以c＝1.因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
解析 由题意得a>－对1.10.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R).(1)若函数f(x)的图象过点(－2，1)，且方程f(x)＝0有且
令g(x)＝x2－3x＋1＝－，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m0时，均－[(a－1)x有1](x2－ax－1)≥0，求实数a的所有可能值.几
位同学提供了自己的想法.甲：解
含参不等式，其解集包含正实数集；乙
：研究－y＝[(a－1)x函数1](x2－ax－1)；丙
：分别研究y两个函数1＝(a－1)x－1与y2＝x2－ax－1；丁
：尝试能否参变量分离研究最值问题.你
可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为______.答案
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.所以
丙.画y2出＝x2－ax－1的草axy2＝x2－图，－1过定点C(0，－1).∴y2＝x2－ax－1与x轴有两个交点，且两交点在原点两
侧a又y1＝(，－1)x－1也
过定点C(0，－1)，故直线y1＝(a－1)x－1只
有过点A，C才∴a－1>0，即a满足题意，>1，令y1＝0得x＝，将
点y2＝x2－ax－1，即－－1＝0，解得a＝0(舍)或a＝.14.已知函数代入f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]，∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，∴f(x)的值域为.(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；②当－>1，即a<－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.综
上可知，a＝－或－1.
解析 选
答案 D解析 取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意.故选D.3.(易错题)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________.答案 解析 当m＝0时，函数在给定区间上是增函数；当m≠0时，二次函数的对称轴为直线x＝－，依题意知∴m≤－.4.(易错题)已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)1，03－2a>0或3－2a1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 考点二 二次函数的解析式例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解 法一 (利用“一般式”)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得解得∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二 (利用“顶点式”)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.法三 (利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.感悟提升 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：训练1 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.答案 (1)x2＋2x＋1 (2)x2－4x＋3解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2a＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
号).①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b0)，若f(m)0 D.f(m＋1)0，c>0，∴b>0，ac0，故①正确；又由题图知f(－1)0，所以f(x)的大致图象如图所示.
(2)因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3. 考点三 二次函数的图象和性质角度1 二次函数的图象例2 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示.则下列结论正确的是______(填序
上，a的取值范围为[－3，0].(2)(2021·西安模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.解 ①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝.(ⅰ)当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上递减，在上递增.∴f(x)min＝f＝－＝－.(ⅱ)当>1，即00>－，所以f(m＋1)>f(0)>0.角度2 二次函数的单调性与最值例3 (1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A.[－3，0) B.(－∞，－3]C.[－2，0] D.[－3，0]答案 D解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________.答案 (1) (2)2解析 (1)由题意知2ax2＋2x－31，x∈[－1，1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以11或x0时，要
使＋数y＝kx2－4x函2在区间[1，2]上是增函数，
只≤1需，解得k≥2；当k1)的定义域和值域都为[1，a]，则b＝________.答案 5解析 f(x)＝x2－2ax＋b的图象关于x＝a对称，所以f(x)在[1，a]上为减函数，又f(x)的值域为[1，a]，所以消
去b，得a2－3a＋2＝0，解得a＝2(a>1)，从而
得b＝3a－1＝5.9.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一
切x的值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为________.答案
数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，
只(一个根，求f有x)的表达
式；(2)在(1)的条件下，当x∈[3，5]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.解 (1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.因为方程f(x)＝0有且
只)所以Δ＝b2－4a＝0.所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.所以f(x有一个根，＝x2＋2x＋1.(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝＋1－.由g(x)的图象知，要满足题意，则≥5或≤3，即k≥12或k≤8，所以所求实数k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞).11.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，又f(0)＝1，所以c＝1.因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
解析 由题意得a>－对1.10.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R).(1)若函数f(x)的图象过点(－2，1)，且方程f(x)＝0有且
令g(x)＝x2－3x＋1＝－，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m0时，均－[(a－1)x有1](x2－ax－1)≥0，求实数a的所有可能值.几
位同学提供了自己的想法.甲：解
含参不等式，其解集包含正实数集；乙
：研究－y＝[(a－1)x函数1](x2－ax－1)；丙
：分别研究y两个函数1＝(a－1)x－1与y2＝x2－ax－1；丁
：尝试能否参变量分离研究最值问题.你
可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为______.答案
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.所以
丙.画y2出＝x2－ax－1的草axy2＝x2－图，－1过定点C(0，－1).∴y2＝x2－ax－1与x轴有两个交点，且两交点在原点两
侧a又y1＝(，－1)x－1也
过定点C(0，－1)，故直线y1＝(a－1)x－1只
有过点A，C才∴a－1>0，即a满足题意，>1，令y1＝0得x＝，将
点y2＝x2－ax－1，即－－1＝0，解得a＝0(舍)或a＝.14.已知函数代入f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]，∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，∴f(x)的值域为.(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；②当－>1，即a<－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.综
上可知，a＝－或－1.
解析 选
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