第8节　函数与方程考试要求　结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f ( a )· f ( b )0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ0)的图象与x轴的交点( x1， 0) ， ( x2， 0)( x1， 0)无交点零点个数2101.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，故f(x)在(2，3)上有唯一零点，故选C.3.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)A.2 B.3 C.4 D.5答案　B解析　由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π.由cos x＝1，得x＝0，2π.∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.4.(易错题)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.


答案　(－8，1]解析　二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－80，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.故零点的集合为.6.(2021·唐山检测)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.答案　[5，10)解析　令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)0.故函数在(1，2)上有零点.2.(2021·西安调研)函数f(x)＝log8x－的一个零点所在的区间是(　　)A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)答案　B解析　∵f(1)＝－0，∴f(1)f(2)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点.又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.4.设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值为________.答案　1解析　设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，f(x)单调递增且图象是一条连续不断的曲线.因为f(1)＝1－＝－10，所以f(1)f(2)0时，作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x>0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－.综上，f(x)有3个零点.(2)在平面直角坐标系中，分别作出y＝lg |x|与y＝sin x的图象，如图所示，由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点. 考点三　函数零点的应用角度1　根据函数零点个数求参数例2 (1)(2021·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为(　　)A. B.C.∪(1，＋∞) D.R


(2)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，若关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)在区间(－2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是________.答案　(1)C　(2)(，2)解析　(1)作出函数f(x)的图象如图：因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，得2a>2或1或0时，f(x)有一个零点，需－a0.综上，0t1)，则t11时，f(x)单调递增，，可得f(x)在x＝1处
取得最小值，最小1，且值为－f(0)＝1，
嵌套函数的零点问题函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将


四f.1.已知函数个零点(x)的图象是连续不断的，且有如
下对应值表x12345f(：x)－4－2147在
下列xf(区间中，函数)必有零点的区间为(　　)A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)答案　B解析　由所给的函数值的
表格数以看出，x＝2与x可＝3这两个字对应的函数值的
符f(2)·号不同，即f(3)0C.f(x0)1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.4.(2021·青岛


南调研)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)A.g(a)0，由f(a)＝0知00，由g(b)＝0知2>b>1，所以g(a)f(1)>0，故g(a)0，f＝－0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)A.x10且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)A.mn＝1 B.mn>1C.01，设1，且－logam＝，logan＝，以上两式两
边相减
可得loga(mn)＝－0), y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.14.(2021·长郡


正确结论的序________.号是答案　(1)(2)(4)解析　零点个数问题，转化
成令.两个函数图象的交点个数来分析f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，可转化
成|ly1＝两个函数g x|，y2＝kx＋2的图象的交点个数问题.对于(1)，当k＝0时，y2＝2与y1＝|lg x|的图象有两个交点，(1)正
确；对于(2)，存在k0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)图象的
切线，此时共有两个交点，当直线
斜率稍微小于相切时的斜率时，就会3有个交点，故(4)正确.
(2)∃k0，使得f(x)有三个零点.以上