第1节　直线的方程考试要求　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0 ， π).2.直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α.(2)计算公式①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.②若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝.


3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y ＝ kx ＋ b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y － y0＝ k ( x － x0)两点式过两点＝与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距＋＝ 1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α000不存在k0，b>0).由题意得解得故直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0.5.(2021·郑州质检)过点P(2，－3)且倾斜角为45°的直线的方程为__________.答案　x－y－5＝0解析　倾斜角45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又经过点P(2，－3)，∴直线方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.6.(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.


考点一　直线的倾斜角与斜率例1 (经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________.答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)解析　法一　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－].故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).法二　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1－k)(－－k)≤0，即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).迁移 若将例1中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围.解　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.即直线l的斜率的取值范围是.感悟提升　1.由直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线的倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在∪上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在∪上并不是单调的.


2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在.训练1 (2022·齐齐哈尔调研)已知点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l的倾斜角的取值范围为(　　)A. B.∪C. D.答案　D解析　因为点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，所以(－a－2＋1)·>0，即(a＋1)(a＋)0；当有解得＝0时，直线为y＝1，
符[0k的取值范围是合题意，故，＋∞).(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k).依
题意得解得k>0.∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，“＝”成
立kk>0且4k＝，即的条件是＝，∴Smin＝4，
此＋l的方程为x－2y时直线4＝0.感悟提升　1.含有
参数的方程可直线看时要作直线系，这方程能够整理成过定点
则解得或故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.感悟提升　1.求直线方程一般有以下两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分


能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).2.求解与直线方程有关的面积
问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进
而求得多边形面积.3.求
参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基
本.训练2 (1)不等式求解已知k∈R，写出以下
动①若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点直线所过的定点坐标：________；②若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________；③若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________.(2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0α3，所以00，b>0时，－a0，bc0，bc>0C.ab0 D.ab0，－>0，∴－18k－≥2＝24，当且
仅－18当k＝－，即k2＝，也即k＝－时取得等号，所以△ABO的面积的
最小值为48，此l的方程为y－4＝－(x时直线－6)，即2x＋3y－24＝0.
解析　易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y＝－x－，由题意知所以ab>0，bc<0.14.(2022·哈尔