第9节　函数模型及其应用考试要求　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较　　函数性质　　　y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y 轴平行随x的增大逐渐表现为与x 轴平行随n值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.


2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(　　)(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　)(3)不存在x0，使ax01)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√解析　(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元).∴每件赔1元，(1)错误.(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.(3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错误.2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)答案　B解析　在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g(x)>f(x)>h(x).3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　)


高考基地大联)考香农定理是所有通信制式最基本原的理，它可以用
香农公C＝B式log2来表示是，其C中信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是
信道带宽(Hz)，S是平均信号是平(W功率，N)均噪声功率(W).已知平均信号功率
平1 000 W，为均噪声功率不10 W为，在改变平均信号功率和信道宽带提的前
下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率(　　)A.0.1 W 约降为B.1.0 W C.3.2 W D.5.0 W答案　A解析　由题意
可，则在S＝得1 000，N＝10信道容量未增大时，信道C容量为1＝Blog2＝Blog2101，设
信道容量增大到原来的2倍时，平均噪声功率N为′ W，此时
信道，量C2容Blog2＝2C1，则log21012＝log2＝即1＋＝1012，解得N′≈0.1，故
选A.5.用长度为24的
材料围一矩形场地，中间加两道墙隔，要使矩形的面积最大，则
隔墙的长度为________.答案　3解析　设
隔墙4.7，所以该次
地震为“破坏性地震”.②设
汶川地震、日本地震所释放的能量分别E1，E为2.由题意知，lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8＋1.5×9＝18.3，即E1＝1016.8，E2＝1018.3，所以＝101.5＝10，取＝3.2，得＝32.故2011年
日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.感悟提
升　指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将
有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的
互化.训
练2 (2021·贵阳调一)研片森林原来面，为a积计划每年砍伐一些树，每年且伐砍
面积的百等比相分，当砍伐到面，的一半积，所用时间是10年时为保护生态环
境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年
砍伐面积的百分比；(2)到
今年为止，该森林已砍伐了多少年？解　(1)设每年
砍伐面积的百x(020时，当A选项满足条②件，所以A不
符＝当x＝1 000时，有y合题意；1.0021 000≈7.37>5，不
符合条②件，所以B不符合题意；而对于选项C，当100)，
通过x块这样的玻璃以后光线的强y为y，则度＝k·0.9x(x，∈N*)么光那
线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据1lg 3≈0.477)(　　)A.9 B.10 C.1： D.12答案　C解析　由题意得k·0.9x0)，化得0.9x＝≈≈10.37，则至少
通11块玻璃过.5.(2021·济
检南测)人们用分来(dB)贝划分声音的等级，声音的等单d(x级)(与：dB)位
声音强度x(单：位W/m2)满般d(x)＝足g.一9l两人小声交谈时，声音的等级约为54人，在有50 dB
的课堂上讲课时，老师声音的等级，为63 dB约那么老师上
课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　)A.1倍
B.10倍C.100倍
D.1 000倍
需要


师老上课时声音强般，一度两人小声谈交时声音强度分别9lx1W/m2，x2 W/m2，根据题意得d(x1)＝为g＝63，解得x1＝10－6，d(x2)＝9lg＝54，解得x2＝10－7，所以＝10，因此，
老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强倍10度的.6.某
工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法误的是(中错　　)A.收入最高
值与收入最低∶3值的比是1B.结
余最高的月份月7是C.1至2月
份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同D.前6个
月的平均收入为40万答案　元D解析　由题图
可知，高入最收万值为90元，收入最低万为30值元，其比是3∶1，
故A正确；由题图
可知，7月份的结余最高万80－20＝，为60(元)，B故正确；由题图
可至，1知2月份的收入月变化量与4至的5份的收入的变化量相同，故图正确；由题C
可个，前6知月平的均收入60×(40＋为＋30＋30万＋50＋60)＝45(元)，故D错误.7.我国
的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期
答案　B解析　设


它在达到点最高爆时果裂.如烟花距地面的高度h(单：米位单与时间t()位：s)之间的关系为h(t)＝
－4.9t2＋14.7t＋17，冲么烟花那出后在爆裂的最佳时刻距地面高
度约为________米.答案　28解析　因为h(t)＝
－4.9t2＋14.7t＋17，所以
烟花冲击后在爆裂的最佳时刻为t＝
－此时1.5，＝h(1.5)＝
－4.9×1.52＋14.7×1.5＋17≈28.8.李明
自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃
，价格依盒为次元/60、65元/盒盒80元、/加90元/盒.为增、销，量李明四对这
种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少x元付.每笔订单顾客网
上支付成功后，李明会得到支付款80%.的(1)当x＝10时，
顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在
促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的
最________.答案　(1)130　大值为(2)15解析　(1)顾客
次一莓购买草和西瓜各1盒原价应为60，＋80＝140(元)，超过了120元
可以优惠x，所以当＝10时，顾客需要支＝140－10付130(元).(2)由题意知，当x确定后，
顾客可以得到的优惠金额以是定的，所固顾客支付的
额金越少，优惠而比例的大.越顾客要想得到优惠，最少要一次买购2盒草莓，此时
顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的
最大值为15.9.(2021·武汉
模拟)复种利是一计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作
本金，再计算下一期的利息.某同学有压元，存岁钱1 000入银行，年利率为2.25%，若放
入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利果可达4.01%.如率将这1 000元选
择合适方式存满5年，可以多获利息________元.(参
考数据≈1.022 55≈1.118，1.040 15：1.217)答案　99解析　将1 000元
钱存入微信零钱通或者支付宝的余宝额，选择复利的计算方法，则存
满5年后的本息1 000×(1＋4.01%)和为5≈1 217(元)，故共得利息1 217－
望


入银存行，则满5年后的本息为1 000×和(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即
获利1 118息－1 000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元).10.候鸟
每年都要随季化的变节而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种
鸟类的飞度行速v(单其：m位s)与/耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据
统计，该种鸟类在静止时其耗氧单为量30个位，而其耗氧量为90个单
位时，其飞1 m/s.(1)求出行速度为a，b的值；(2)若这种
鸟类为赶路程，飞行的速度不能低其2于m/s，则 耗氧量至少要多少个单
位？解　(1)由题意
可知，当这种鸟类静止，此时时，它的速度为0 m/s耗氧量为30个单
位，故
，a＋blog3＝0有即a＋b＝0.当
耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故
，a＋blog3＝1有即a＋2b＝1.解
方程组得即a，b的值分
别为1.1和－(2)由(1)知，
v＝1＋－log3.所以要使
飞行速度不低2 m于/s，则有≥2，故－1＋vlog3≥2�