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高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第一节 平面向量的概念及线性运算第五章2023
内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.平面向量的基本概念2.向量的线性运算3.向量共线1.数学抽象2.逻辑推理3.直观想象
强基础 增分策略
又有 的量;向量的大小叫作向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 模是非负实数,即|a|≥0零向量
的向量 记作0,其方向是任意的 注意0与0的区别,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0大小方向 长度为0
1.向量的有关概念 名称定义备注向量既有
的向量 与非零向量a共线的单位向量为
平行向量
的非零向量(又叫作共线向量) 0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且
的向量 两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度相等且
的向量 0的相反向量为01个单位 方向相同或相反 方向相同 方向相反
名称定义备注单位向量长度等于
微点拨(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量,它们的模是确定的,但是方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性.(2)单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同;与非零向量a平行的单位向量有两个,即向量 .
2.向量的线性运算
;当λ0时,λa的方向与a的方向
微思考多个向量首尾相接,和向量有什么特点? 提示:首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个 个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.
.微点拨变形形式:已知直线l上三点A ,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数λ,使得微思考向量共线的定义中为什么要限制a≠0? b=λa 提示:因为如果a=0,则λa=0,(1)当b≠0时,定理中的λ不存在;(2)当b=0时,定理中的λ不唯一.因此限制a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.
3.向量共线向量a(a≠0)与b共线的充要条件是当且仅当有唯一一个实数λ,使得
常用结论1.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图所示),易知G为△ABC的重心,则有如下结论:
增素能 精准突破
)A.②③B.①②C.③④D.②④
考点一考点二考点一平面向量的基本概念典例突破例1.给出下列四个说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中正确说法的序号是(
解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,
考点一考点二答案:A
考点一考点二③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确说法的序号是②③.
考点一考点二突破技巧平面向量有关概念的关键点(1)平面向量定义的关键是方向和大小.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是1个单位.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
)A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合B.若向量a与b都是单位向量,则a=bC.若向量a与b是平行向量,则a与b的方向相同D.若两个向量相等,则它们的模相等答案:D
解析:对于A,两个向量相等,则两个向量可
以平移至点和终点重合,但起两个向量不一定起点和终点重合,故
错误;对于B,单位向量的模长都相等,但是方向不一定相同,故
错误;对于C,两个向量行向量时,是平这两个向量的方向也可
以相反,故误;对于D,错相等向量的模相等,方向相同,故正确.
考点一考点二对点训练1下列结论中,正确的是(
探究)考向1.向量加、减运算的几何意义典例突破例2.(2021浙江杭州
模拟)设点M是线BC的中点段,点A在直线BC外,且
考点一考点二考点二向量的线性运算(多考向
解析:以AB,AC为
邻作平行四边形ACDB边,如图所示,
考点一考点二答案:2
利用向量加、减法的几何意义解决问题的两种方法 方法一根据
两个向量的和与差,构造相应平行四的边形或三角形,再结合其
他知识求解相关问题方法二平面几何中如果出
现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的
问题,可考虑利用向量知识来求解
考点一考点二突破技巧
一中高三月非零)设考向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,且a-b=c,则a,b的
夹角为 . 答案:60°
所
以△OAB为等边三角形,则∠AOB=60°,所
的a,b以夹角为60°.
考点一考点二对点训练2(2021云南昆明
高三是线)检测所示的△ABC中,点D如图段AC上靠近A的三等分点,点E是线
段AB的中点,则 =( )
考点一考点二考向2.向量的线性运算典例突破例3.(2021广西南宁
考点一考点二答案:B
行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分
利线及相等向量、相反向量、三角形用相的中位似三角形的对
应例等性质,边成比把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算
类似于代数多项算中的式的运算,实数运去括号、移项
、合并同类项、提取公方法等变形因式在向量的线性运算中同样适用.
考点一考点二解题心得1.进
考点一考点二答案:C
参数典例突破
考点一考点二考向3.由向量的线性运算求
解析:如图,根据
线意得点D为题段AB三等分点靠近B点的点,点E为线
段AC三等分点靠近C点的点,
考点一考点二答案:B
决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造形,三角利用向量运算的三角形法则
进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关
参数的值.
考点一考点二突破技巧解
考点一考点二
解析:由平面向量的线性运算法则,
考点一考点二答案:C
应典例突破例5用.(2021江苏盐城
中学高三月)设e考1,e2是两个不共线的平面向量,若a=3e1-2e2,b=e1+ke2,且a与b共线,则实数k的
值为() 答案:C
解析:由a与b共线,即a=λb(λ∈R),所
以3e1-2e2=有λ(e1+ke2),
考点一考点二考点三考向4.向量共线定理及其
醒]证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
考点一考点二突破技巧1. [提
考点一考点二A.3B.2C.1D.-2 答案:A
束
本 课 结
内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.平面向量的基本概念2.向量的线性运算3.向量共线1.数学抽象2.逻辑推理3.直观想象
强基础 增分策略
又有 的量;向量的大小叫作向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 模是非负实数,即|a|≥0零向量
的向量 记作0,其方向是任意的 注意0与0的区别,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0大小方向 长度为0
1.向量的有关概念 名称定义备注向量既有
的向量 与非零向量a共线的单位向量为
平行向量
的非零向量(又叫作共线向量) 0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且
的向量 两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度相等且
的向量 0的相反向量为01个单位 方向相同或相反 方向相同 方向相反
名称定义备注单位向量长度等于
微点拨(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量,它们的模是确定的,但是方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性.(2)单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同;与非零向量a平行的单位向量有两个,即向量 .
2.向量的线性运算
;当λ0时,λa的方向与a的方向
微思考多个向量首尾相接,和向量有什么特点? 提示:首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个 个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.
.微点拨变形形式:已知直线l上三点A ,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数λ,使得微思考向量共线的定义中为什么要限制a≠0? b=λa 提示:因为如果a=0,则λa=0,(1)当b≠0时,定理中的λ不存在;(2)当b=0时,定理中的λ不唯一.因此限制a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.
3.向量共线向量a(a≠0)与b共线的充要条件是当且仅当有唯一一个实数λ,使得
常用结论1.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图所示),易知G为△ABC的重心,则有如下结论:
增素能 精准突破
)A.②③B.①②C.③④D.②④
考点一考点二考点一平面向量的基本概念典例突破例1.给出下列四个说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中正确说法的序号是(
解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,
考点一考点二答案:A
考点一考点二③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确说法的序号是②③.
考点一考点二突破技巧平面向量有关概念的关键点(1)平面向量定义的关键是方向和大小.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是1个单位.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
)A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合B.若向量a与b都是单位向量,则a=bC.若向量a与b是平行向量,则a与b的方向相同D.若两个向量相等,则它们的模相等答案:D
解析:对于A,两个向量相等,则两个向量可
以平移至点和终点重合,但起两个向量不一定起点和终点重合,故
错误;对于B,单位向量的模长都相等,但是方向不一定相同,故
错误;对于C,两个向量行向量时,是平这两个向量的方向也可
以相反,故误;对于D,错相等向量的模相等,方向相同,故正确.
考点一考点二对点训练1下列结论中,正确的是(
探究)考向1.向量加、减运算的几何意义典例突破例2.(2021浙江杭州
模拟)设点M是线BC的中点段,点A在直线BC外,且
考点一考点二考点二向量的线性运算(多考向
解析:以AB,AC为
邻作平行四边形ACDB边,如图所示,
考点一考点二答案:2
利用向量加、减法的几何意义解决问题的两种方法 方法一根据
两个向量的和与差,构造相应平行四的边形或三角形,再结合其
他知识求解相关问题方法二平面几何中如果出
现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的
问题,可考虑利用向量知识来求解
考点一考点二突破技巧
一中高三月非零)设考向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,且a-b=c,则a,b的
夹角为 . 答案:60°
所
以△OAB为等边三角形,则∠AOB=60°,所
的a,b以夹角为60°.
考点一考点二对点训练2(2021云南昆明
高三是线)检测所示的△ABC中,点D如图段AC上靠近A的三等分点,点E是线
段AB的中点,则 =( )
考点一考点二考向2.向量的线性运算典例突破例3.(2021广西南宁
考点一考点二答案:B
行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分
利线及相等向量、相反向量、三角形用相的中位似三角形的对
应例等性质,边成比把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算
类似于代数多项算中的式的运算,实数运去括号、移项
、合并同类项、提取公方法等变形因式在向量的线性运算中同样适用.
考点一考点二解题心得1.进
考点一考点二答案:C
参数典例突破
考点一考点二考向3.由向量的线性运算求
解析:如图,根据
线意得点D为题段AB三等分点靠近B点的点,点E为线
段AC三等分点靠近C点的点,
考点一考点二答案:B
决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造形,三角利用向量运算的三角形法则
进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关
参数的值.
考点一考点二突破技巧解
考点一考点二
解析:由平面向量的线性运算法则,
考点一考点二答案:C
应典例突破例5用.(2021江苏盐城
中学高三月)设e考1,e2是两个不共线的平面向量,若a=3e1-2e2,b=e1+ke2,且a与b共线,则实数k的
值为() 答案:C
解析:由a与b共线,即a=λb(λ∈R),所
以3e1-2e2=有λ(e1+ke2),
考点一考点二考点三考向4.向量共线定理及其
醒]证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
考点一考点二突破技巧1. [提
考点一考点二A.3B.2C.1D.-2 答案:A
束
本 课 结
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