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高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第三节 平面向量的数量积及其应用第五章2023
内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的运算2.平面向量数量积的应用3.平面向量的综合应用1.直观想象2.数学抽象3.数学运算
强基础 增分策略
1.向量的夹角 (0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角,记作. 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角微点拨当θ=0°时,两向量a,b共线且同向;当θ=90°时,两向量a,b相互垂直,记作a⊥b;当θ=180°时,两向量a,b共线但反向.
叫作a与b的数量积,记作a·b 几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos θ的乘积微点拨零向量与任意向量的数量积为0;射影和两向量的数量积都是数量,不是向量.|a||b|cos θ
2.平面向量的数量积 定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量
微思考1a在b方向上的射影与b在a方向上的射影相同吗? 微思考2两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗? 提示:不相同.因为a在b方向上的射影为|a|cos θ,而b在a方向上的射影为|b|cos θ,其中θ为a与b的夹角.提示:不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.
3.向量数量积的运算律 交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)微点拨实数运算满足消去律:若ab=ca,a≠0,则b=c.而在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c.即向量的数量积运算不满足消去律.微思考(a·b)c一定等于a(b·c)吗?提示:不一定.这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.即向量数量积的运算不满足乘法结合律.
4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.微点拨当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|. a·b=0 x1x2+y1y2=0
常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立).(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b0,n>0,
考点一考点二考点三(方法2
选取一组基,底利用向量间的关系构造关于未知量的方程行求进解坐标法把
几何图形放量适当的坐标系中,在点与向则有关就可以用坐标表示,这
样就能进的行相应代从数运算和向量运算,而使问题得到
解决
考点一考点二考点三突破技巧向量与平面几何综合问题的两种解法 基向量法适当
考点一考点二考点三
考点一考点二考点三答案:B
矩动ABC形中,AB=1,AD=2,D点P在以点C为圆心且与B相D的切
圆 .若 上 (,μ∈R),则λ+μλ的最大值为(A )答案:
解析:以A为坐标
原在直线,AB,AD所点分别为x轴,y轴
建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方
程-2x+y为2=0,
考点一考点二考点三考向2.平面向量在解析几何中的应用典例突破例6.在
考点一考点二考点三
决,多用于“包装”,解现此类问题时关
键是利用向量的意义、运算脱去“向量导”外衣,出曲线上点的坐标之间的关系,从
解决有关而距离、率斜、夹角、轨迹、a值等问题工具作用利用a⊥b⇔a·b=0;最∥b⇔a=λb(b≠0,λ∈R),可解决垂直、平行问题,特
别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种
比较简捷的方法
考点一考点二考点三突破技巧向量在解析几何中的两个作用 载体作用向量在解析几何问题中出
抛y2物线=4x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两,侧=-4(其中O为坐标
原),则△点ABO面积的最小值是 .解析: 设直线AB的方
程x=ty+m为,A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴
的交点为M(m,0).将x=ty+m代入y2=4x,可得y2-4ty-4m=0,根据
韦有y1y达定理2=-4m,
考点一考点二考点三对点训练6已知
的两8,,∴y1y2=-侧故m=2,M(2,0).不
妨令点A在x轴,上方则y1>0,
考点一考点二考点三由于点A,B位于x轴
速水流的度4 km为h/河水中,一艘船的实际以12 km/h航行速度垂直于对
岸行则这驶,船艘的航行速度的大小为 , 方向与水流方向的夹角为
.
考点一考点二考点三考向3.平面向量在物理中的应用典例突破例7.在
考点一考点二考点三
性让它在物理学中具有广泛主应用的,要体现在以
下几个方面:(1)力、
速度、加速解、位移等都是向量,度它们的合成与分就是向量的加
、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动
量mv是数乘向量;(3)功W是一个标量,它是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).
考点一考点二考点三突破技巧解决向量在物理中的应用问题的策略平面向量中的数形结合
建泉州模拟)如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且
处于平衡状态.已知两条绳上的拉是F1,F力分别2,且F1,与F2水平面的夹角
均物45为,|F1|=|F2|=4 N,则°体的重力大小为 . N
答案:8解析 :设F1,F2的合力为F,则F=F1+F2,∵F1,F2的夹角为90°,∴|F|=8.∵物
体处于平衡状态,∴物
体的重力大小|为G|=8.
考点一考点二考点三对点训练7(2021福
课 结 束
本
内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的运算2.平面向量数量积的应用3.平面向量的综合应用1.直观想象2.数学抽象3.数学运算
强基础 增分策略
1.向量的夹角 (0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角,记作. 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角微点拨当θ=0°时,两向量a,b共线且同向;当θ=90°时,两向量a,b相互垂直,记作a⊥b;当θ=180°时,两向量a,b共线但反向.
叫作a与b的数量积,记作a·b 几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos θ的乘积微点拨零向量与任意向量的数量积为0;射影和两向量的数量积都是数量,不是向量.|a||b|cos θ
2.平面向量的数量积 定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量
微思考1a在b方向上的射影与b在a方向上的射影相同吗? 微思考2两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗? 提示:不相同.因为a在b方向上的射影为|a|cos θ,而b在a方向上的射影为|b|cos θ,其中θ为a与b的夹角.提示:不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.
3.向量数量积的运算律 交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)微点拨实数运算满足消去律:若ab=ca,a≠0,则b=c.而在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c.即向量的数量积运算不满足消去律.微思考(a·b)c一定等于a(b·c)吗?提示:不一定.这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.即向量数量积的运算不满足乘法结合律.
4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.微点拨当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|. a·b=0 x1x2+y1y2=0
常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立).(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b0,n>0,
考点一考点二考点三(方法2
选取一组基,底利用向量间的关系构造关于未知量的方程行求进解坐标法把
几何图形放量适当的坐标系中,在点与向则有关就可以用坐标表示,这
样就能进的行相应代从数运算和向量运算,而使问题得到
解决
考点一考点二考点三突破技巧向量与平面几何综合问题的两种解法 基向量法适当
考点一考点二考点三
考点一考点二考点三答案:B
矩动ABC形中,AB=1,AD=2,D点P在以点C为圆心且与B相D的切
圆 .若 上 (,μ∈R),则λ+μλ的最大值为(A )答案:
解析:以A为坐标
原在直线,AB,AD所点分别为x轴,y轴
建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方
程-2x+y为2=0,
考点一考点二考点三考向2.平面向量在解析几何中的应用典例突破例6.在
考点一考点二考点三
决,多用于“包装”,解现此类问题时关
键是利用向量的意义、运算脱去“向量导”外衣,出曲线上点的坐标之间的关系,从
解决有关而距离、率斜、夹角、轨迹、a值等问题工具作用利用a⊥b⇔a·b=0;最∥b⇔a=λb(b≠0,λ∈R),可解决垂直、平行问题,特
别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种
比较简捷的方法
考点一考点二考点三突破技巧向量在解析几何中的两个作用 载体作用向量在解析几何问题中出
抛y2物线=4x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两,侧=-4(其中O为坐标
原),则△点ABO面积的最小值是 .解析: 设直线AB的方
程x=ty+m为,A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴
的交点为M(m,0).将x=ty+m代入y2=4x,可得y2-4ty-4m=0,根据
韦有y1y达定理2=-4m,
考点一考点二考点三对点训练6已知
的两8,,∴y1y2=-侧故m=2,M(2,0).不
妨令点A在x轴,上方则y1>0,
考点一考点二考点三由于点A,B位于x轴
速水流的度4 km为h/河水中,一艘船的实际以12 km/h航行速度垂直于对
岸行则这驶,船艘的航行速度的大小为 , 方向与水流方向的夹角为
.
考点一考点二考点三考向3.平面向量在物理中的应用典例突破例7.在
考点一考点二考点三
性让它在物理学中具有广泛主应用的,要体现在以
下几个方面:(1)力、
速度、加速解、位移等都是向量,度它们的合成与分就是向量的加
、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动
量mv是数乘向量;(3)功W是一个标量,它是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).
考点一考点二考点三突破技巧解决向量在物理中的应用问题的策略平面向量中的数形结合
建泉州模拟)如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且
处于平衡状态.已知两条绳上的拉是F1,F力分别2,且F1,与F2水平面的夹角
均物45为,|F1|=|F2|=4 N,则°体的重力大小为 . N
答案:8解析 :设F1,F2的合力为F,则F=F1+F2,∵F1,F2的夹角为90°,∴|F|=8.∵物
体处于平衡状态,∴物
体的重力大小|为G|=8.
考点一考点二考点三对点训练7(2021福
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