uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
vr
r运算律：（1）加法交换律：
r;r;
OPaR=�ll()
OBOAABab=+=+BAOAOBab=-=-
⃗
⃗a+b=b+a（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)（3）数乘分配律：
λ(a+b)=λa+λ运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则b3、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，
⃗⃗
b，记作a// {b（。¿2）共线向量定理：空间任意两个向量
⃗a平行于
⃗⃗⃗⃗
b（b≠0），b存在实数λ，使
a、⃗/⃗a/⃗a＝λ
⃗
b。（3）三点共线：A、B、C三点共线
⃗⃗
AB=λAC
⃗⃗⃗
→
OC=xOA+y+（其中xOBy=1）（4）与
a
±
→
⃗a共线的单位向量为4、共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量
|a|
rr
r不共线，r与向量的共面r条件是存在实数x，y使
ab,pab,
r
rr。（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面
pxayb=+
⃗⃗
AP=xAB+yAC
⃗⃗⃗
PO=xAO+yOB+zOC(其中x+y+z=1基5、空间向量)本定理：如果三个向量
r
r，存在一个唯一的有序实数组
rr不共面，那么对空间任一向量
p
abc,,
r
rrr。若三向量
，使xyz,,xpaybzc=++
rrr
rr不共面，我们把rr叫做空间的一个基底，rr叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设
abc,,{,,}abcabc,,
点一任OABC是不共面的四点，则对空间,,,
P，都存在唯一的三个有序实数数学—选择性必修第一册1
高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。


uuuruuuruuuruuur。6、空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系
OPxOAyOBzOC=++
Oxyz中-，对空间任点一(,,)xyz，使
A，存在唯一的有序实数组
⃗⃗⃗⃗
(,,)xyz叫作向量zxyO-中的坐标，记作
OA=xi+yi+zk，有序实数组
A在空间直角坐标系
，zAxy),,(y叫纵坐标，z叫竖坐标。
x叫横坐标，
z
注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为
A(x,y,z)
k
Oy
j
i
x
rrr表示。空间中任一向量
{,,}ijk
1，这个基底叫单位正交基底，用
⃗⃗⃗
⃗a=xi+yj+zx,=（ky,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：①若
r，r，则
aaaa=)(,,bbbb=),,(
123123
rr，rr，r， rr，
abababab+=+++),,(babaabab=----),,(lllllaaRaa=�),,()(bbaaabab�=++
122331311223123112233
rr， rr②若
bRbabaaba/)(,,/�===�llllabababba^�++=0
112233112233
yz，Ax(,,)则，Bxyz),(,
111222
uuur一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。③定比分点公式：若
yzzyABxx-=--),,(
212121
⃗⃗
yz，Ax(,,)，zyBx),,(
AP=λ则B，P点P坐标为
111222
x+λxy+λyz+λz
121212
(,,（。推导：设P)x，y，z）则
(x−xy−y,z−z)=λ(x−x,y−y,z−z，,显然)当P为AB中点时，
1+λ1+λ1+λ1,11222
x+xy+yz+z
121212
P(,,)④
222
ΔABC中，（Ax,y,z）,B(x,y,z),C(x,y,z三，)角形重心P坐标为
111222333
x+x+xy+y+yz+z+z
123123123
P(,,)Δ
322
⑤ABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。
→→
→
ABAC
AP=λ(+)（单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
→→
|AB||AC|
→→→
|PA|=|PB|=|PC|数学—选择性必修第一册2
x，y，z，使


→→→→→0（移项，内积为→，则垂直）重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）
PA⋅PB=PA⋅PC=PB⋅PC
→→→
1
AP=(AB+AC)中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若
3
r，r，则
aaaa=)(,,bbbb=),,(
123123
rrr，
rrr（5）夹角公式：
222
222
||aaaaaa=�=++
||bbbbbb=�=++
123
123
rr
rr
ab�abbaba++
112233
rr。ΔABC中①
cosab�==
222222
||||ab�
aaabbb++++
123123
⃗⃗⃗⃗
AB⋅AC>为锐角②0AB⋅ACA为钝角，钝角Δ（6）两点间的距离公式：若
yz，Ax(,,)则，Bxyz),(,
111222
uuuruuur，或
2
222
222
xzzyyxd知两非零已=-+-+- 7、空间向量的数量积。向（1）空间向量的夹角及其表示：量)()()(
||()()()zBABAxyyzx==-+-+-
AB,212121
212121
r
uuuruuurr
r，在空间任取一点
r，则
ab,bOAaOB==,
O，作
rrrr
r的夹角，记作
；且规定r有r显然，rr；若
r与
bap=ab,
r与r。（2）向量的模：设
2abab^
uuuruuur的长度叫做向量
r。（3）向量的数量积：已知向量
r，则有向线段r的长度或模，记作：
||a
OAa=OA
a
rr
rrr
r
r，则的r数量积，记作
rr叫做r
r，即
ab,ab,
||||cos,abab��
rr
rrrrr②
rrr（5）空间向量数量积运算律：①
rr③2
aaeae=�¿
12
¿
cosθ=¿
¿线面夹角
∘∘
⃗
[0,90量：求线面夹角的步骤：先求线的方向向]AP与面的法向量n⃗的夹角，数学—选择性必修第一册3
θ
垂心P：高的交点：


→→
cos¿
¿
sinθ=¿
¿面面夹角（二面角）
∘∘
[0,180量：若两面的法向]一进一出，则二面角等于两法向量
θ
→→
cosθ=±cos¿
⃗n,⃗n12
2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
1
¿4、点面距离
uuur;； 计算平面
面Pxy到平,量Qxy，得向,
()()
PQ
00
h ：求点离：的距a 在平面a上去一点
⃗
|PQ⋅n⃗|
h=
|n⃗|线面距离（线面平行）：转化为点面距离面面距离（面面平行）：转化为点面距离数学—选择性必修第一册4
a的法向量n;.
若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.


x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与
009∘注：①当.∘∘108(0)
x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是
l垂直于直轴，它的斜率不存在.②每一条x线都存在惟一的倾斜角，除与
或12xx时，直线
x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2、直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(ba，即直线在
y轴上的截距分别为)0,0(,baba时，直线方程是：1byax.注：若232xy是一直线的方程，则这条直线的方程是232xy，但若)0(232xxy则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化.
x轴，
①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.
②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3、（1）两条直线平行：1l∥212kkl两条直线平行的条件是：①1l和
2l是两条不重合的直线. 2l的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的
②在1l和
错误.（一般的结论是：对于两条直线21,ll，它们在
y轴上的纵截距是21,bb，则1l∥212kkl，且21bb或21,ll的斜率均不存在，即2121ABBA是平行的必要不
充221CC）推论：如果两条直线分条件，且1,ll的倾斜角为21,
则1l∥212l. （2）两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l和
2l的斜率分别为k和2k，则有121121kkll这
里提是21,l的前l的斜率都存在.
2l的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在. （即01221BABA是垂直的
②0121kll，且
充4、直线的交角：（1要条件））直线1l到
到l的角（方向角）；直线1l2是l的角，22l重合时所转
指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与
.（2）两条相交直线1l与
，当∘90
，它的范围是),0(2时2111tankkkk
动的角
2l的夹角：两条相交直线1l与是2的夹角，l2l相交所成的四个角中最小的正角
指由1l与
，当∘90
.5、过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程
，t，则有21121ankkkk
2l所成的角，它的取值范围是2,0
又称为1l和
(0)(222111CyBxACyBxA为
参，0222数CyBxA不
包括6、点到直线的距离：（在内）1）点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCByAxl,0:到
l的距离为d，则有数学—选择性必修第一册5
第二章直线和圆的方程一、直线方程1、直线的倾斜角：一条直线向上的方向与


22
|PP|.特(xx)(yy)
122121
22
||OPxy标+②定比分点坐=分式。若点P(x,y)分有向线段
例到P(x,y)：点原点O的距离：
uuuruuur
PPPPPP即).所成的比为,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2则ll=
1212
1,12121yyyxxx特

例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。③直线的倾斜角（0°≤
＜180°）、斜率:tank④过两点
yy
21
P(x,y),P(x,y)2的直线的斜率公式：. 12()xx�当211k
111222
xx
21
xx（即直线和轴垂直）时，直线的倾斜角x,yy
＝
90，
案王新敞（2）两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxl，它们
没有斜率新疆学
之2的距离为d，则有间221BACCd.注：直线系方程①与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR, C≠
∊m).②与直线