CD所成角等于相交直线AE与AB所成的角，即
ABCD所以，∥异面直线AE与
则2�．不妨设正方体的棱长为，BAECE=，1
BCCB，可得
BC=，由勾股定理得2EABB^，所以
EB平面=，又由AB^5
11
BE5
tan．】析�==，故选C2．A【解若BAE
AB2
n�，m∥n，由线面平行的判∥定理知m定a．若am∥a，
m�，a
∥�，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“maa”的充分不必要条件．故选A．3．A【解析】由正方体的线线关系，易知B、C、D中
m�，na
ABMQA，所以∥B∥平面NQ，只有A不满足．选A． M4．C【解析】如图，连结1AD，易知1AD^平面1ADE，所以
ADAE^，又BCAD，所以∥1BC^平面1ADE，故
1111
AEBC，选^C．微信公众号：中学数学研讨部落
11
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分1．C【解析】如图，连接BE，因为


a与平面11CBD平行，平面
ABCD，所以m∥
ABCD∥平面
1111
BD∥BD，又1AB∥平面11CBD，所以n∥1AB，则BD与1AB所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为32，选A．6．C【解析】选项A，只有当
11
m或∥bm时，�bm^时b
ml；选项∥B，只有当
以�，所bm或∥bm�时，b
mn；选项∥C，由于lnl；选项^D，只有当
mn7，故选C．^．B【解析】由
11616
lr半面径=�=得圆锥底的82pr所�，=以米堆的体积
4p3
111256320320
2
hVr，所以堆放的米有=�=��=p5三棱锥【解析】��斛．8．C21.622
434999
1
VVSh==�，其中
h为点C到平面OAB的距离，而底面三角形
BOABCCOABOA--Δ
3
OAB时直角三角形，顶点C到平面OAB的最大距离是球的半径，故
111
3
VVSh==�==的半径，��，其中R为球O所以R36
BOABCCOABOA--Δ
332
2
R=，所以球6O的表面积
SR在平面l1==．9．D【解析】是异面直线，1l和2l若直线4414pp
在平面内，2lab内，a与平面
l是平面
b的交线，则l至少与1l，2l中的一条相交，故选A．10．B【解析】解法一 设
�
，�=DCAqAB=，则由题意知2DADBDA===．在空间图形中，连结AB�，设AB�=1
t．在
2222222
��
BttADDBA-+-+-211
ΔADB�中，cos==�=BAD�
�
22112ADDB���．过A�作
�
ANDC^，过B作CBDM^，垂足分别为NM、．微信公众号：中学数学研讨部落
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 4288804945．A【解析】因为过点A的平面


，使四边形NPMB//
PNM为平行四边形，则BCNPD^，连结
�，则
APBP,���
�就是二面角ANPACDB--的平面角，所以．在�=ANPa
�中，�����
RtANDΔACDADDN�=，=coscosqADDANAC=．同理，=�snisniq
NBMP=，=isnqMD=故，scoqNMPB=�NPA=．显然BP^平面，故oc2sq
�
BPAP^．在
222222
�中，��
RtABPΔAtPBtAPB=．-=-=-在)4(2coscosqq
222
��
ANNPAP+-
�中，
ΔNPAoscosca==�PNA�
�
2ANNP�
22222222
)insin(4cossqqq-+-t22cos2cos-+-qqtt
===+
2222
2sinq2sin2sinsinqqq
2
1cosq
�
�+，=所以cosADB
22
sinsinqq
2
1cosq
���
coscoscoscosa+�-=�-�BDABDBDAA
22
sinsinqq
222
1sincoscos-qqq
��
�=+�=+c0osos(1c)BABADD≥，所以
222
sinsinsinqqq
p
�q=时取等号），因为
coscosa（当≥�BAD
2
yx在=[0,]cos
a，�
而��，BAD0,][pp上为递减函数，所以
a二 ≤，故选B．解法若�BDA�
ap=时，�
CACB�，则当；D�CBA0．C�>，排除A、C，故选B．11【解析】D【解析】利用正方体模型可以看出，1l与4l的位置关系不确定．选D．12．选项DBA0
均可能与平面ABD中m,,a平行、垂直、斜交或在平面a内，故选
C．13．B【解析】对于选项A，若
mn,//,//ma，则a与n可能相交、平行或异面，A错误；微信公众号：中学数学研讨部落
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494过N作


n�或a
mn^，m，则^an//a，C错误；对于选项D，若
n�或n与a错误．故相交，Da选B．14．D【解析】作
m//，则，mna^n//a或
HBCP，设^，垂足为HPHx=，则
CHx，=由余弦定理3
2
xAH=+-，6253403
PH11
(antan0)tq>===�HAP
AHx
625403
故当-+，3
2
xx
143
q取得最大值，最大值为539．15．B【解析】直线
=时，tan
x125
p
a的取值范围是
BD所成的角为AЮ，��由于AOAOAC
OP与平面
1111
2
p
663226
sin1= 所以
sin，�=OAAsin2�=>�=�，COA
111
2
33333
6
sina的取值范围是
[,1]
316．D【解析】作正方形模型，
a为后平面，
b为左侧面 可知D正确．17．D【解析】A中,mn可能平行、垂直、也可能为异面；B中,mn还可能为异面；C中m应与
b中两条相交直线垂直时结论才成立，选D．18．B【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵
a，a
b，则b．如选项A：
l∥l⊥l∥微信公众号：中学数学研讨部落
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494显然选项B正确；对于选项C，若


，aa⊥∥aa⊥a，
b时，b或b；选项C：若，bb或l；�选项D：若b
l∥l⊥l∥
a⊥a，
b, b或9．1b．B【解析】过点A作
l⊥l∥l⊥
ACBD面，则BD^^ACE，从而有
AEBD^，若存在某个位置，使得
BDCE^，计算可得BD与不正确；当翻折到ECA不垂直，则ACCD^时，因为
BCCD^，所以CD^面ABC，从而可得ABCD^；若ADBC^，因为
BCCD^，所以BC^面，从而可得CDABCAC^，而
BCAB，若平面=，则
mC,3,0),(AmC=0),3(,
nzyx的法ACE=为平面),,(
向量，则
1
uuur
�
mxy+=,30
�
nAC=�,0
�1�
uuur即
��
31
nAE=�,0
�yz+=0,
�
�1
可取�，22
3
n．-=又)3,1,(
1
m
nAED为平面=的法0),0,1(
向量，由题设
2
1
31
cos,nn=，即
=
12
2
2
342+，解得32m=．因为E为PD的中点，所以三棱锥m
EACD的高为-12．三棱锥
11313
EACD-的体积
V．【解析】=����=．47（Ⅰ）证明：如图取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，微信公众号：中学数学研讨部落3
32228
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494如图，以A为


ADPADP中，由ABD===，可解得PE=2．在三角形5,2
DBAB，==，可解得BE=1．在三角形PEB中，PE=2，BE=12
o，由余弦定理，可解得PB=3，从而
�=PEB60
o，即BE^PB，又BC//AD，BE^AD，从而BE^BC，因此BE^平面PBC．又BE�平面ABCD，所以平面PBC^平面ABCD．（ii）连接BF，由（i）知BE^平面PBC．所以�EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由PB=3，PA=5，AB=2得�ABP为直角，而MB=12PB=32，可得AM=112，故EF=112，又BE=1，故在直角三角形EBF中，
�=PBE90
BE211
sin.�==所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为21111．48．【解析】（Ⅰ）设点O为AC，BD的交点，由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线EFB
EF11
段AC的中垂线．所以O为AC的中点，BD⊥AC．又因为PA⊥平面ABCD，BD�平面ABCD，所以PA⊥BD．所以BD⊥平面APC．微信公众号：中学数学研讨部落
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494故MF//BC且MF=12BC．由已知有BC//AD，BC=AD．又由于E为AD中点，因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM，又AM�平面PAB，而EF�平面PAB，所以EF//平面PAB.（Ⅱ）（i）证明：连接PE，BE．因为PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，故PE^AD，BE^AD，所以�PEB为二面角P-AD-B的平面角．在三角形PAD中，由


22
ACBABBCABBC+DO-���＝23，所以OC＝12AC＝3.在直角△OCD中，＝2osc
22
CDOCG＝2.在直角△O-D中，tan∠OGD＝
OD43
=.所以DG与平面APC所成的角的正
OG3
切（433.值为Ⅲ）连结OG.因为PC⊥平面BGD，OG�平面BGD，所以PC⊥OG.在直角△PAC中，得PC＝15.所以GC＝
ACOC�152
=.从而PG＝3155，所以
PC5
PG3
=.49．【解析】（Ⅰ）由AB是圆O的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC�平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AC=A，PA�平面PAC，AC�平面PAC，所以BC⊥平面PAC．（Ⅱ）连OG并延
GC2
长交AC与M，链Q接M，QO. 微信公众号：中学数学研讨部落
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494（Ⅱ）连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．由题意得OG＝12PA＝32.在△ABC中，AC＝


心PM为AC中点，由G为，得A中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO=M，QM�平面QMO．所以QG//平面PBC．50．【解析】（Ⅰ）因为111ABCABC-是直三棱柱，所以1CC
平面ABC，又AD平面
面^�平DEDECC,,BCCB，1CC
ABC,所以1CCAD^，又因为AD
111
D所以�=ADEE,BCCB，又AD
平面，平面ADE所以平面ADE平面
11
BCCB.（Ⅱ）因为
11
ABAC=，F为CABF^．因为1CC
，B的中点所以C
平面
111111111
FBC，且1AAABC，所以1CC平面^又因为�1CC，11BCFA.BCCB�1CC，
平面
111111111
BCC=，所以AF^平面，CCBB所以1//AFAD．又AD
平面ADE，
111111
AF平面平面ADE，所以1//AF�ADE．51．【解析】（Ⅰ）
1
AB^平面DAP，PH�面PAD又�^ABPH
PHPHADADABA^^=�,I面
ABCD（Ⅱ）
11
hPH==，三棱锥
是E点B中点�PE到面BCF的距离
22
EBCF-的体积
111112
DhVShFCA的中点为=�=����=���=，（Ⅲ）取PA21
DBCF
3326212
，DGEG,
，连接GADADDGPP=�^，又
�^面DG
AB^平面DAP�面PAD^面PABPAB，微信公众号：中学数学研讨部落
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494由G为∆AOC的重


EG是棱,PBPA的中点,
11
得：，���DGEEGABDFFBEGDFA//////,//
22
EF^平面．PAB52．【证明】：（Ⅰ）在△PAD中，因为E、F分别为AP，AD的中点，所以EF//PD．又因为EF
平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF//平面PCD．（Ⅱ）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形，��