aaaaaaa+=++++)n(l
n1lxx≤(-x，所以>)0
1234123
≤，所以aaa-++1a．≤，又11a>，所以等比数列的公比0q≥，所以
12341
ln()0aaa++>，与
123
ln()0aaaaaaa++=+++≤矛盾，所以
1231234
22
，所以--=0)1(aqqaa所以，-=-，故选B．解法二 因为
13
x
aaaaaaa所以，+++=++)n(l
ex，≥+1
1234123
aaaa+++
1234
a若≤，又11a>，所以等比数列的公比0q≥，所以
12341
ln()0aaa++>与
123
ln()0aaaaaaa++=+++≤矛盾，所以
1231234
22
，所以--=0)1(aqqaa所以，-=-．D【解析】解法一 点(2,1)在直线
13
xy上，-=1yax表示过定点+=(0,4)，斜率为a-微信公众号：中学数学研讨部落4
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案部分1．B【解析】解法一 因为


ayx式-=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等2
xay-式≤表示的区域包含原点，不等2yax线+>表示的区域不包含原点．直4
axy与+=直线4ayx直-=互相线直，显然当垂2axy的+=斜率4
，不->时等式a0
yax(+>表示的区域不包含点，2,1)，故排除A；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-当4
3
yax时+>表示的区域包含点(2,1)，此4
，-时a
2
3
yxa直-表示的区域不包含点(2,1)，故排除C，故选D．解法二 4
214a+>
�
3
(2,1)则�，Aa≤时，
�
22-a2，解得3≤a>，所以当且仅当
2
�
(2,1)�．故选乘D．3．D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D． 4．A【解析】nS表示点nA到对面直线的距离（设为nh）以A
BB
nn度+长一半，即1
1
ShBB题，由=目中条件可知BB
nnnn+1nn+的长度为定值，那么我们需要知道nh的关系式，过1A作垂直得到初始距离1h，那么1,nAA和两个垂足构成了等腰梯形，那么1
2
hAAh，其中�+=natq
q为两条线的夹角，即为定值，那么
nnn11+
11
BAABSh=�+，)nat(qhBABAS差后：作=+�微信公众号：中学数学研讨部落，)at(nq
nnnn111+nnnn+++11111
22
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494的直线，当0a�时，


1
SAABBS，都为定值，所以�=-()natqSS-为定值．故选A． 5．B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B．6．A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A．7．D【解析】∵
nnnnnn+++111nn+1
2
5679
31255=，625515=，578125=85390625=，，51953125=，
10
59765625=，���，∴5n(nZ且,�n(≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n5
Zn且�,n≥)的末四位数字为()fn，则5
ff(201150147))(=�+xf=，∴20115与75的末位数字相同，均为8 125，选满D．8．D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()fx是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数()足f)7(
fxfx()()=，即函数-()fx是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有
gx()-=【解析】7-，故选D。9．2所有的正奇数和gx)(
*
n(
2n�)N按照从小到大的顺序排列构成{}na，在数列{}na中，52前面有16个正奇数，即
56
Sa，时=2812a=540，符合题意．故使得
aS>成立的n的最小值为27．10．6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为,,abc，则12
nn+1
,,,2ccabcab>>>�N①
b②=，当6
84，所以>>>ba
max
c=时，1
21>a>>，，bab�N，a，b不存在，不符合题意；当
min
c当=时，42ab>>>，a，b�N，a，b不存在，不符合题意；2
min
c=时，3
36>，此时>>baa，=5b．=，满足题意所以4
min
cab．++=．1112
4
nn(1)．．12+②③【解析】对于①，令
(413)nn��+【解析】通过归纳可得结果为
3
1111
”伴随点P，则其“为)1,1(P�，而,)(P�”的“伴随点为),(
2222
22
(1,1)设-，而不是P，故错-；对于②误是单Pxy位圆(,)
Cxy:1点=上的+，其“伴随点”为
y
�
�
x=
22
�
xy+
�
Pxy���，则有(,)
�
-x
�
y�=
22
�xy+
�，所以
yx-1
2222
yx��+=+==1)()(
222222
xyxyxy+++，所以②正确；对于③设
yx-
P�(,)
为”Pxy的“伴随点),(yPx),(-的“伴随点”微信公众号：中学数学研讨部落
22221
xyxy++，
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494……；当


--yxyx---yx
P�,)(P�(,)P�(,)
11
222222222222
yxyx，++易知yxxy++与xyxyy+关于+轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为
CAxBy且++=，其中,AB不同时为0，0
���，其中,PP�都不是原点，且
为Pxy)(,”Pxy的为“伴随点),(Pxy(,)
该直线上一点，
0000
y
�
0
�
x=
22
�
xy+
�00
2222
��
xxyy=-+，()yxyx将=+，)(
�
000000
-x
0
�
y�=
22
�xy+
�，则
00
2222
代入Pxy)(,��
原直线方程，得CxyyBAxyx0)()(++++=，则
00
0000
C
22
��
++=-BxAy0
xy定的+不确定，所以“伴随点”不一值共3，所以④错误．1线．1和3【解析】为
22
00
xy+，由于
00
方便说明，不妨将分别写的1和2，1和3，2和3有卡片A，B记为，C从丙出
发，由于丙的卡片字上的数之和不是5，则丙只可能是，片A或卡B论无一是哪
张，，均含有字1数再由乙与丙的卡片所相同的上字不是1可知，乙数拿的 卡片必
然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿
的卡片为A．14．
11111111
1++-+���--=++���+
234212122nnnnn-++．【解析】观察
等式的第n个等式知：左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分
母的连是12n到续正整数，等式的右边1111是22nnn++���+++．15．
1
递接形推归；等腰直角纳角三ABC中，斜边
BC，所=以22
4【解析】解法一 直
AaAABACa，�=====，1231AAa==，��2,2
112
21
6
aaAA微信公众号：中学数学研讨部落==�=．)(
5671
24
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494为


通向：等腰直角三角形ABC中，斜边
BC，=所以22
���，
AaAABACa，=====2,2
112
1
p222
n6
AaaaA�==�，==故)(2nisa==�)2(
nnnnn-+117
416．6【解析】因为①正确，②也正确，所以
4222
只有①正确是不可能的；若只②有正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为
(2,3,1,4)，；若,2,1(34),只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为
(3,1,2,4)；若
只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为
(2,1,4,3)，，,1,(3,2)4(4,1,3,2)．
综1组的个数是6．上符合条件的有序数7．42【解析】
先由徒弟粗加一工原B料，6天后，师傅开始精加工原料B，徒弟同时开始粗加工
原料，A天再9后（15天后），粗加工徒弟原A料完师此时成，傅还在精加工原
料B，27天后，师工精加傅原料B完成，后然接着精加工原A天料再15，傅精加工后，师
原料A完成，整个工作完成，一共个6 +需要1+15= 422工作日．18．
xxxx
fx)(=ffx())(==
12
12014+【解析】由x1+，得x211可得++，xx
xx
xxfff)))(((==fx()=
322014
13+，故可归纳得x12014．+．19x
FVE三+-=【解析】2棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体，由此归纳可得6+8中-12=2
EFV…++-=．20．12－22+32－42+2
nn(1)（n+∈N）【解析】
n+1n+1
1)(=-n2(1)-·
2
观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一个等式次加，故第n1左边有n项
，每项所含的底数的绝也值对增加1，一次，1，为2，3，…n指正都是2数，符号成
n+1
负交替出现可以用右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等微信公众号：中学数学研讨部落
(1)-表示，等式的
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494解法二 求


nn(1)+，所以第n个式子可为12－22+32－42+…+
右边(以表示为可1)n-·
2
nn(1)N（n∈+）．21．1000【解析】
n+12n+1
1)(-=n(1)-·
2
n前面的系数，可知一个成
观察2递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故
n和
2
Nnnn,101142=-，【\= 22．61161解析51413121122222】N00042,011
()()
观察不等式的左边发现式的第，n个不等左边=
111
1112nn，所以第
1+++���+
右边=五161个不等式为6151413121122222．23．（1）6；（2）
222
23(1)n+，
n-4
3211+【解析】（1�）当N=16时，
Pxxxxxxx=L，可设为21,(,3,4,5,6,,16)L，
012345616
(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)1L，2159L33711152616Pxxxxxxxxxxx=L，即
113571524616Pxxxxxxxxx=LL，即为
)1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16(L，7x位于2P中的第6个位
置P（2）在1；中173x位于两
段中第一段位的第87个置，位于奇数位置，此上时在2P中173x位于四
段中第一段的位44个第置上，再作变换于3P得时，173x位八段中第二段个位第22的
置上，再作变换1，时73x位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于微信公众号：中学数学研讨部落
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ群 428880494式的


n-4
置上．24．
3211�+个位
2
nnnn++--++=12()23()1)(L 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的
边左是的子的第一个式数行数n，加是的数数个12n等-；式边右都是完全平方
数， 行
数 等号左边的项 1=1 数 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7…… ……