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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 第8节 函数与方程考试要求 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. INCLUDEPICTURE "../../知识诊断.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../知识梳理.TIF" \* MERGEFORMAT 1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f ( a )· f ( b )0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ0)的图象 INCLUDEPICTURE "../../F53.TIF" \*MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../F54.TIF" \*MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../F55.TIF" \*MERGEFORMAT与x轴的交点( x1， 0) ， ( x2， 0)( x1， 0)无交点零点个数210 INCLUDEPICTURE "../../常用结论.TIF" \* MERGEFORMAT成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，故f(x)在(2，3)上有唯一零点，故选C.3.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 B解析 由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0，2π]，由sin x＝0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 得x＝0，π，2π.由cos x＝1，得x＝0，2π.∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.4.(易错题)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.答案 (－8，1]解析 二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－80，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.故零点的集合为.6.(2021·唐山检测)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.答案 [5，10)解析 令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)0.故函数在(1，2)上有零点.2.(2021·西安调研)函数f(x)＝log8x－的一个零点所在的区间是( )A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)答案 B解析 ∵f(1)＝－0，∴f(1)f(2)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点.又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.4.设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值为________.答案 1解析 设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，f(x)单调递增且图象是一条连续不断的曲线.因为f(1)＝1－＝－10，所以f(1)f(2)0时，作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x>0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－.综上，f(x)有3个零点. INCLUDEPICTURE "../../T55.TIF" \* MERGEFORMAT 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
平面直角ly＝坐标系中，分别作出g |x|与y＝sin x的图象，如图所示， INCLUDEPICTURE "../../T56.TIF" \* MERGEFORMAT由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点.考点三 函数零点的
应用角
度1 根据函数零点个数求参例数2 (1)(2021·湖南雅礼
中学检测)已知函数f(x)＝(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰
有两个不同的实根，则实数a的取值范围为( )A. B.C.∪(1，＋∞) D.R(2)函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________.答案 (1)C (2)(0，3)解析 (1)作出函数f(x)的图象如图： INCLUDEPICTURE "../../Q82.TIF" \* MERGEFORMAT 因为关于x的方程f(x)＝2a恰
有两个不同实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象
恰得2a>2有两个交点，结合图象，或1或0时，f(x)有一个零点，需－a0.综上，0设1)，则t11时，f(x)单调递增，，可得f(x)在x＝1处
取得最小值，最小U1，且f(0)＝1， INCLUDEPICT值为－RE "../../B30.TIF" \* MERGEFORMAT 作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或，当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，即g(x)有一个零点，综上，g(x)共有
四U. INCL个零点DEPICTURE "../../分
层RG.tif" \* ME训练EFORMAT INCLUDEPICTURE "../../A级基础巩固.TIF" \* MERGEFORMAT1.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如
下对应值表：x12345f(x)－4－2147在
下列)f(x区间中，函数必有零点的区间为( )A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)答案 B解析 由所给的函数值的
表格数以看出，x＝2与x可＝3这两个字对应的函数值的
符f(2)·号不同，即f(3)0C.f(x0)1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.4.(2021·青岛
调研)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )A.g(a)0，由f(a)＝0知00，由g(b)＝0知2>b>1，所以g(a)f(1)>0，故g(a)0，f＝－0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )A.mn＝1 B.mn>1C.01，设1，且－logam＝，logan＝，以上两
式两边相减
可得loga(mn)＝－0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( )A.x10), y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C. INCLUDEPICTURE "../../T60.TIF" \* MERGEFORMAT 14.(2021·长郡
卷)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；(2)∃个结论：k0，使得f(x)有三个零点.以上
正确结论的序________.号是答案 (1)(2)(4)解析 零点个数
问题，转化.成两个函数图象的交点个数来分析令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，可转
化gy1＝|l成两个函数 x|，y2＝kx＋2的图象的交点个数问(1).对于题，当k＝0时，y2＝2与y1＝|lg x|的图象有两个交点，(1)正
确；对于(2)，存在k0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)图象的
切线，此时共有两个交点，当直线
斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正5.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群5确2511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，故f(x)在(2，3)上有唯一零点，故选C.3.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 B解析 由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0，2π]，由sin x＝0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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平面直角ly＝坐标系中，分别作出g |x|与y＝sin x的图象，如图所示， INCLUDEPICTURE "../../T56.TIF" \* MERGEFORMAT由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点.考点三 函数零点的
应用角
度1 根据函数零点个数求参例数2 (1)(2021·湖南雅礼
中学检测)已知函数f(x)＝(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰
有两个不同的实根，则实数a的取值范围为( )A. B.C.∪(1，＋∞) D.R(2)函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________.答案 (1)C (2)(0，3)解析 (1)作出函数f(x)的图象如图： INCLUDEPICTURE "../../Q82.TIF" \* MERGEFORMAT 因为关于x的方程f(x)＝2a恰
有两个不同实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象
恰得2a>2有两个交点，结合图象，或1或0时，f(x)有一个零点，需－a0.综上，0设1)，则t11时，f(x)单调递增，，可得f(x)在x＝1处
取得最小值，最小U1，且f(0)＝1， INCLUDEPICT值为－RE "../../B30.TIF" \* MERGEFORMAT 作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或，当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，即g(x)有一个零点，综上，g(x)共有
四U. INCL个零点DEPICTURE "../../分
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下对应值表：x12345f(x)－4－2147在
下列)f(x区间中，函数必有零点的区间为( )A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)答案 B解析 由所给的函数值的
表格数以看出，x＝2与x可＝3这两个字对应的函数值的
符f(2)·号不同，即f(3)0C.f(x0)1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.4.(2021·青岛
调研)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )A.g(a)0，由f(a)＝0知00，由g(b)＝0知2>b>1，所以g(a)f(1)>0，故g(a)0，f＝－0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )A.mn＝1 B.mn>1C.01，设1，且－logam＝，logan＝，以上两
式两边相减
可得loga(mn)＝－0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( )A.x10), y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C. INCLUDEPICTURE "../../T60.TIF" \* MERGEFORMAT 14.(2021·长郡
卷)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；(2)∃个结论：k0，使得f(x)有三个零点.以上
正确结论的序________.号是答案 (1)(2)(4)解析 零点个数
问题，转化.成两个函数图象的交点个数来分析令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，可转
化gy1＝|l成两个函数 x|，y2＝kx＋2的图象的交点个数问(1).对于题，当k＝0时，y2＝2与y1＝|lg x|的图象有两个交点，(1)正
确；对于(2)，存在k0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)图象的
切线，此时共有两个交点，当直线
斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正5.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群5确2511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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