成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. INCLUDEPICTURE "../../知识诊断.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../知识梳理.TIF" \* MERGEFORMAT 1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝| a || b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影| b |cos__θ 的乘积.2.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).3.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期


成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 结论符号表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要条件a · b ＝ 0x1x2＋ y1y2＝ 0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤| a || b ||x1x2＋y1y2|≤ INCLUDEPICTURE "../../常用结论.TIF" \* MERGEFORMAT1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. INCLUDEPICTURE "../../诊断自测.TIF" \* MERGEFORMAT 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　　)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.2.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，4)，则(a－b)·a＝(　　)A.－14 B.－4 C.4 D.14答案　B解析　由题意得a－b＝(－1，－3)，则(a－b)·a＝－1－3＝－4.3.已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期


⊥c，则k＝________.答案　－解析　由题意得c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1).又a⊥c，所以a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－. INCLUDEPICTURE "../../考点突破.tif" \* MERGEFORMAT考点一　向量数量积的基本概念及运算1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b·(2a－b)等于(　　)A.2 B.－1 C.－6 D.－18成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 A.－3 B.－2 C.2 D.3答案　C解析　因为BC＝AC－AB＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得t＝3，所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2.4.(2022·江南名校模拟)已知平面向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，若(2a－b)·b＝0，则向量a，b的夹角为(　　)A. B. C. D.答案　C解析　由(2a－b)·b＝0，可得a·b＝b2＝.设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝.又θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角为.5.已知AB＝(－1，2)，点C(2，0)，D(3，－1)，则向量AB在CD方向上的投影为________；向量CD在AB方向上的投影为________.答案　－　－解析　因为CD＝(1，－1)，向量AB在CD方向上的投影为＝－，同理CD在AB方向上的投影为＝－.6.(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a


成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 答案　D解析　由题意知cos〈a，b〉＝sin ＝sin＝－sin ＝－，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.2.若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝(　　)A.0 B.4 C.－ D.－答案　D解析　由题意得(2k－1)×1－4×k＝0，解得k＝－，即m＝，所以m·n＝－2×4＋×1＝－.3.(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP＝，则|PD|＝__________；PB·PD＝__________.答案　　－1解析　法一　∵AP＝(AB＋AC)，∴P为BC的中点.以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴|PD|＝＝.易得PB＝(0，－1)，PD＝(－2，1)，∴PB·PD＝(0，－1)·(－2，1)＝－1. INCLUDEPICTURE "../../B138.TIF" \* MERGEFORMAT 法二　如图，在正方形ABCD中，由AP＝(AB＋AC)得点P为BC的中点， INCLUDEPICTURE "../../B139.TIF" \* MERGEFORMAT ∴|PD|＝＝.PB·PD＝PB·(PC＋CD)＝PB·PC＋PB·CD＝－PB2＋0＝－1.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期


，b的夹角为(　　)A. B. C. D.(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)A.a＋2b B.2a＋bC.a－2b D.2a－b答案　(1)C　(2)D解析　(1)设向量a和b的夹角为θ，因为a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，所以b＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，所以cos θ＝＝＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.(2)易知a·b＝|a||b|cos 60°＝，则b·(a＋2b)＝≠0，b·(2a＋b)＝2≠0，b·(a－2b)＝a·b－2b2＝－≠0，b·(2a－b)＝0.因此b⊥(2a－b).角度2　平面向量的模例2 (1)(2022·南昌模拟)设x，y∈R，a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|2a＋3b－c|＝(　　)A.2 B. C.12 D.2(2)已知a，b是单位向量且a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的
最值是________.答案　(1)A　(2)＋大1解析　(1)因为a⊥c，所以a·c＝－2x＋2＝0，解得x＝1，则a＝(1，1).因为b∥c，所以4＋2y＝0，解得y＝－2，则b＝(2，－2)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 感悟提升　解决向量数量积的运算问题的三个思路(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解.(2)把两个向量各自用已知的向量表示，再利用运算律和定义计算.(3)建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再利用坐标计算法，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.　考点二　向量数量积的性质及应用角度1　夹角与垂直例1 (1)已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a


别OA＝a，OB＝b作，作OC＝a＋b，则四IFOACB是边长为1的正方形，所以|OC|＝. INCLUDEPICTURE "../../B140.T边形" \* MERGEFORMAT 作OP＝c，则|c－a－b|＝|OP－OC|＝|CP|＝1.所以点P在以C为
圆心，1为半径的圆上.由图可知，
当O，点C，P三点共线且点P在点P1处时取|OP|，得最1.故大值＋|c|的
最1.法二　由a·b＝0，得a大值是＋⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1). INCLUDEPICTURE "../../B141.TIF" \* MERGEFORMAT 设c＝OC＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为
圆心，1为半径的圆c.所以|上|max＝＋1.法三　易知|a＋b|＝，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，由已知得||c|－|≤1，所以|c|≤1＋，
故|c|max＝＋1.感悟提升　1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a＝(x1，y1)，b成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 所以2a＋3b－c＝(10，－6)，则|2a＋3b－c|＝2.(2)法一　由a·b＝0，得a⊥b.如