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线段的垂直平分线数学湘教版 八年级上
新知导入1、什么是轴对称图形？ 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形.2、什么是对称轴？ 折痕所在的直线就是轴对称图形的对称轴.
A与点A′关于线段
CD所在的直线段对称l 问线，CD所在的直线段l 与线AA′有什么关系？我发现新知讲解
��
AAD=ADlA., ⊥
观察：如图，人字形屋顶的框架中，点
A与点
A′关于直线线 对称，l果沿直如l 折叠:则点
与点A，A′重合AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线
我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.已知点
l 既平分线段段A′，又A直线垂AA′.新知讲解
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.新知讲解
AB，再画出线段AB的垂直平分线
MN； 新知讲解
MN上任取一点P, 连接
PA，PB（3）测量PA，、PB的长度，你有什么发现？
M
P
PA=PB（4）你能证明这个发现吗？探究：（1）在纸上画一条线段
A
B●（2）在线段AB的垂直平分线
O
N
M
MN是线段垂B 的A直平分线，∴沿直线
P
A与点B关于直线MN对称从而线段
MN折叠，点A与点B重合. ∴点
PA与线段PB重合∴
A
B●线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．符号语言：∵
O
PA= PB.线段垂直平分线的性质定理：
N
AO =BO，MN⊥ B，A ∴
PA =PB．新知讲解
证明：∵直线
P到线段BA两端的距离与APPB相等，那么点
P在线段？B的垂直平分线上吗A有两种情况：（1）当点
P在线段BA上时，因为
PA=PB，所以点
P为线段AB的中点，显然此时点
P在线段平B的垂直A分线上.新知讲解
思考：我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点
P在线段，B外时A如图所示.因为
PA=PB，所以
△形AB是等腰三角P.过顶点P作
PC⊥AB，垂足为点
C，从而底边
AB上的高PC也是底边AB上的中线.即
PC⊥AB，且=CABC.因此直线
PC是线段直B的垂A平分线，此时点
P也在线段平B的垂直A分线上.新知讲解
（2）当点
PA = ，PB ∴点
P 在平B 的垂直A分线上．新知讲解
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：符号语言： ∵
△ABC中，CB,BA垂直平分线相交于点
O，连接OA，OB， . OC 求证：点
O在分C的垂直平A线上.新知讲解
O在线段的BA垂直平分线上∴
OA=OB同理
OB=OC∴
OA=OC∴点
O在线C的垂直平分A上例：已知：如图，在
证明：∵点
△ABC中，CB,BA垂直平分线相交于点
O，连接OA，OB， . OC 求证：点
O在想C的垂直平分线上.想一A：三角形三边的垂直平分线有什么特点呢？它们交于一点 这个点与三角形的三个顶点有什么关系呢？ 这个点到三角形三个顶点的距离相等.三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等.新知讲解
O在线段的BA垂直平分线上∴
OA=OB同理
OB=OC∴
OA=OB=OC例：已知：如图，在
证明：∵点
ABC中，直B的垂A平分线分别交AB，
BC于点D，∠E，B=30°，∠∠ACB 80°， 求=CAE的度数.解：∵
DE是垂B的A直平分线∴
AE=BE∴
∠ AE＝∠B＝B30°又∵∠
AE+∠C∠BAE=BAC ∴ ∠
CAE＝∠BAC-∠＝AEB80°-30°＝50°新知讲解
练习： 如图，在△
角的平分线与线段的垂直平分线角的平分线线段的垂直平分线定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.点的集合是一条射线点的集合是一条直线新知讲解
ABC中，BA＝5，，A＝6CBC＝4，边
AB的垂直平分线交AC于点D，则△ DC的周长是( ) A．11 B B．10 C．9 D．8B课堂练习
1.如图，△
AC＝AD，BC＝则D，B有( )A．
分B垂直平ACDB．
分D垂直平CABC．
AB与相D互C垂直平分D．
CD平分∠BCAA课堂练习
2．如图，
△ABC中，AB=9cm,，CA15cm＝BC的垂直平分线
DE交AC于点D，交BC点于E，求△DBA的周长.
DE是垂C的B直平分线∴
BD=DC∴ △
A
D
ABD的周长 =
AB+BD+AD=
B
AB+DC+AD=
EC解：∵
AB+5C =9+1A=24(cm)课堂练习
3.如图，
C，D是线段且B外A两点，的AC =BC，
D=ABD，与ABCD相交点于O. 求证：
AO=.OB证明： ∵
AC =BC，AD=D，∴点CB和点D在线段AB的垂直平分线上，∴
CD为线段垂B的A直平分线.又
AB与相DC交于点O∴
AO=OB.课堂练习
已知：如图，点
1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？线段垂直平分线的性质定理、判定定理.2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？•性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．•判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.课堂总结
基础作业教材第72页习题2.4A 组第2、3、4题能力作业教材第73页习题2.4B 组第6题布置作业
新知导入1、什么是轴对称图形？ 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形.2、什么是对称轴？ 折痕所在的直线就是轴对称图形的对称轴.
A与点A′关于线段
CD所在的直线段对称l 问线，CD所在的直线段l 与线AA′有什么关系？我发现新知讲解
��
AAD=ADlA., ⊥
观察：如图，人字形屋顶的框架中，点
A与点
A′关于直线线 对称，l果沿直如l 折叠:则点
与点A，A′重合AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线
我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.已知点
l 既平分线段段A′，又A直线垂AA′.新知讲解
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.新知讲解
AB，再画出线段AB的垂直平分线
MN； 新知讲解
MN上任取一点P, 连接
PA，PB（3）测量PA，、PB的长度，你有什么发现？
M
P
PA=PB（4）你能证明这个发现吗？探究：（1）在纸上画一条线段
A
B●（2）在线段AB的垂直平分线
O
N
M
MN是线段垂B 的A直平分线，∴沿直线
P
A与点B关于直线MN对称从而线段
MN折叠，点A与点B重合. ∴点
PA与线段PB重合∴
A
B●线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．符号语言：∵
O
PA= PB.线段垂直平分线的性质定理：
N
AO =BO，MN⊥ B，A ∴
PA =PB．新知讲解
证明：∵直线
P到线段BA两端的距离与APPB相等，那么点
P在线段？B的垂直平分线上吗A有两种情况：（1）当点
P在线段BA上时，因为
PA=PB，所以点
P为线段AB的中点，显然此时点
P在线段平B的垂直A分线上.新知讲解
思考：我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点
P在线段，B外时A如图所示.因为
PA=PB，所以
△形AB是等腰三角P.过顶点P作
PC⊥AB，垂足为点
C，从而底边
AB上的高PC也是底边AB上的中线.即
PC⊥AB，且=CABC.因此直线
PC是线段直B的垂A平分线，此时点
P也在线段平B的垂直A分线上.新知讲解
（2）当点
PA = ，PB ∴点
P 在平B 的垂直A分线上．新知讲解
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：符号语言： ∵
△ABC中，CB,BA垂直平分线相交于点
O，连接OA，OB， . OC 求证：点
O在分C的垂直平A线上.新知讲解
O在线段的BA垂直平分线上∴
OA=OB同理
OB=OC∴
OA=OC∴点
O在线C的垂直平分A上例：已知：如图，在
证明：∵点
△ABC中，CB,BA垂直平分线相交于点
O，连接OA，OB， . OC 求证：点
O在想C的垂直平分线上.想一A：三角形三边的垂直平分线有什么特点呢？它们交于一点 这个点与三角形的三个顶点有什么关系呢？ 这个点到三角形三个顶点的距离相等.三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等.新知讲解
O在线段的BA垂直平分线上∴
OA=OB同理
OB=OC∴
OA=OB=OC例：已知：如图，在
证明：∵点
ABC中，直B的垂A平分线分别交AB，
BC于点D，∠E，B=30°，∠∠ACB 80°， 求=CAE的度数.解：∵
DE是垂B的A直平分线∴
AE=BE∴
∠ AE＝∠B＝B30°又∵∠
AE+∠C∠BAE=BAC ∴ ∠
CAE＝∠BAC-∠＝AEB80°-30°＝50°新知讲解
练习： 如图，在△
角的平分线与线段的垂直平分线角的平分线线段的垂直平分线定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.点的集合是一条射线点的集合是一条直线新知讲解
ABC中，BA＝5，，A＝6CBC＝4，边
AB的垂直平分线交AC于点D，则△ DC的周长是( ) A．11 B B．10 C．9 D．8B课堂练习
1.如图，△
AC＝AD，BC＝则D，B有( )A．
分B垂直平ACDB．
分D垂直平CABC．
AB与相D互C垂直平分D．
CD平分∠BCAA课堂练习
2．如图，
△ABC中，AB=9cm,，CA15cm＝BC的垂直平分线
DE交AC于点D，交BC点于E，求△DBA的周长.
DE是垂C的B直平分线∴
BD=DC∴ △
A
D
ABD的周长 =
AB+BD+AD=
B
AB+DC+AD=
EC解：∵
AB+5C =9+1A=24(cm)课堂练习
3.如图，
C，D是线段且B外A两点，的AC =BC，
D=ABD，与ABCD相交点于O. 求证：
AO=.OB证明： ∵
AC =BC，AD=D，∴点CB和点D在线段AB的垂直平分线上，∴
CD为线段垂B的A直平分线.又
AB与相DC交于点O∴
AO=OB.课堂练习
已知：如图，点
1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？线段垂直平分线的性质定理、判定定理.2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？•性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．•判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.课堂总结
基础作业教材第72页习题2.4A 组第2、3、4题能力作业教材第73页习题2.4B 组第6题布置作业
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