第二章 一元二次方程2.3 一元二次方程根的判别式湘教版 数学 九年级上册


2
2
��-4bbaacax
.2
��2
��+＝探究新知
新知一 一元二次方程根的判别式议一议 我们运用公式法求解一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)时，总是要求b2－4ac≥0. 这是为什么? 将方程ax2＋bx＋c = 0 ( a≠0 ) 配方后得到 由于a≠0，所以4a2 ＞0，因此我们不难发现：


2
240.4acba＞-
22
-+--bbacbacb--44
xx＝.2＝(2)当b2－4ac＝0时， 由于0的数方根为0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实平根2. ,
12
22aa
b-4ac
=0,
4a
b
xx＝＝-.
12
2a
(1)当b2－4ac＞0时， 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为： 此时，原方程有两个不相等的实数根.


的根的判别式，记作Δ”，即Δ=b2－4ac.
归 纳1. 定义：我们把b2－4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)“


归 纳2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：(1)Δ>0 方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个不等的实数根.(2)Δ=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.(3)Δ－4C. a ≥ －4 且a ≠ 0 D. a>－4 且a ≠ 0例2


解题秘方：紧扣根的判别式与根的情况的关系进行解答.特别提醒应用Δ的前提是二次项系数不为0.根据根的情况构建方程或不等式，从而求出字母的值或取值范围.当待求的字母出现在二次项系数中，而无法判定方程为一元二次方程时，要分类讨论.


∴Δ>0，即(－4)2－4a×(－1)>0.
∴a>－4. －a>∴4 且a ≠ 0.答案：D
解：由题意得a ≠ 0.∵一元二次方程有两个不相等的实数根，


一元二次方程归纳新知


C巩固新知


2．关于x的一元二次方程x2＋bx－1＝0的根的判别式为(　　)A．1－b2 B．b2－4 C．b2＋4 D．b2＋1C


C3．已知方程2x2＋mx＋1＝0的根的判别式的值为16，则m的值为(　　)


4．【2021·南宁期末改编】下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是(　　)A．x2＋1＝0 B．4x2－4x＋1＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2－2x－1＝0B


5．【2021·河南】一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是(　　)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根A


B6．【2020·黑龙江】已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是(　　)


7．【2021·河北】小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是(　　)A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝－1D．有两个相等的实数根A


8．【2021·荆州】若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2＋kx＋b＝0的根的情况是(　　)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定C


9．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，且有两个相等的实数根，则(　　)A．a＝b B．2a＋b＝0C．b＝2c D．b＋c＝0B


解：∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根．
10．不解方程，判断下列一元二次方程的解的情况．(1)x2＋2＝0; 　　　　解：∵Δ＝02－4×1×2＝－8＜0，∴方程没有实数根．(2)x2＋x＋2＝0；


(3)x2＋2x＋1＝0; 解：∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根．(4)x(x－1)＝2.将原方程化为一般形式，得x2－x－2＝0.∵Δ＝(－1)2－4×1×(－2)＝9＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．


11．关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，∴b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0，解得m≤1.∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程为x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，解得x1＝x2＝1.


再 见再 见