第三章 图形的相似3.1.1 比例的基本性质湘教版 数学 九年级上册


复习提问 引出问题根据所学知识，完成下列问题. 如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片， (2)是由(1)缩小得到的. 在照片(1)中任意取四个点P，Q，A，B，在照片(2)找出对应的四个点P′，Q′，A′，B′，量出线段PQ，P′Q′ ，AB， A′B′的长度. 计算它们的长度的比值.导入新知


ac
知=探究新,
bd
新知一 比例的基本性质 在小学，我们就已经知道，如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数成比例. 现在我们学习了实数， 把这四个数理解为实数，写成式子就是，如果 a:b=c:d 或 则称a,b,c,d成比例，其中b,c 称为比例内项，a,d 称为比例外项.


ac
=,
bd
ac
=,
bd
那么ad =bc 吗?由此得到比例的基本性质：
ac
如果那么ad = bc.
.=在①式两边同乘 bd ，得 ad = bc,
bd
如果四个数a , b, c, d成比例，即 那么ad =bc吗? 反过来如果ad = bc，那么a，b， c， d四个数成比例吗? 如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 ①


ac
≠0).(1)比例的基本性质中的等积式是依据等式的性质得出的.(2)比例的基本性质可以逆用，即由等积式可以直接得出比例式 .提示：已知比例式中的三个量，可以根据比例的基本性质求出第四个量 .
=,
bd
1. 比例的基本性质 : 如果 那么 ad=bc (b ，d


acabdcdb
====0,0)(,0)()0),((,dbaccbad≠或≠或≠或≠
bdcdbaca
特别提醒如果ad=bc，那么


ac
如果那么(b，d≠0).
如=abcdbd++=推导： ，果 那么 (b，d≠0).那么等式两边同时加上或减去1得,
bd
ac
==abcdbd++,
bd
abcd��
=.
bd
•2.合比性质•


aaa
21121===1nn,...
bbb
aaa++���+
a
=.nn
bbbb++���+
a
aa
12n
�===��=k,
bbb
12n
bbaaakb+��++���+++�)(a
1212nn
1
，a2 =b2 k ，… an =bnk ，，
===k.
bbbbbbb�++��+++���+
12121nn
∴1212
3.等比性质 如果 且 b1 +b2 +…+bn ≠ 0 ， 那么 证明：设 则 a1 =b1 k


aaa
12n
==���=
bbb
12n
aaaa+aaaa+���++
121212nn
==���====���.
bbbbbbbb+++���+
121212nn
拓展 : (1) 如果 ( b1 +b2 ≠ 0，…，b1 +b2 +…+bn ≠ 0 )， 那么 (2) 利用分式的基本性质，将连等式中一个比的前项与后项 都乘同一个非零数后，仍可利用等比性质.


8
5
5解题秘方：紧扣“比例的定义”列比例式求解.
2
已知四个实数a，b，c，d 成比例，其中a=2，b=4，c=5，则d 等于( )A. 1 B. 10 C. D.例1


ac
=
bd
ac
=答案：B
bd
解：已知四个实数a，b，c，d 成比例，则 ，把a，b，c 的值代入式子中就可以求出d. 具体解题过程如下：由题意得 .因为a=2，b=4，c=5，所以 .所以d=10.故选B.


xyzxxy＋
===________.,则
234yz
例2已知2


教你一招利用比例的基本性质求代数式的值的方法：1. 消元法，即用含有同一个字母的代数式表示其他的字母，然后代入求值；2. 参数法，即当条件中出现多个比值相等时，根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应的字母，再代入代数式求值.


xyxxz3
由得由====得.,.2,yxz
23224
35x
xxx＋�
5
22
易知x原===�\式0,.
3x
36x
�2x
2
解：方法一 222


xyz
设===\===kkyxzkk.4,3,2,
234
22
423105kkkk＋�
易知k，\=�原==.0式56答案：
2
34126kkk�
方法二


那么 .如果 ，那么ad=bc.acbd=acbd=归纳新知
比例的基本性质比例的基本性质如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，


B巩固新知


2．【2021·雅安】若a∶b＝3∶4，且a＋b＝14，则2a－b的值是(　　)A．4 B．2 C．20 D．14A


B


　　　　


A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断A




7．求下列各式中x的值．(1)3∶x＝2∶(x＋1)；解：根据比例的基本性质，得3x＋3＝2x，解得x＝－3.(2)1∶(x－5)＝2∶(x＋5)．根据比例的基本性质，得x＋5＝2x－10，解得x＝15.




再 见再 见