2
--�bbac4
2
acxb=-�(40)
2a
导入新课复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.


*2.4 一元二次方程根与系数的关系韦达定理


学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）


1
-1232xx+=-
2
讲授新课探索一元二次方程的根与系数的关系一 算一算 解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两 根关 系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1 · x2=-4x1+x2=5x1 · x2=6 


猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2= -p , x1 ·x2=q.


b
xx+=-
12
a
（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 


ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么注意满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.归纳总结 
b
x+x=-
12
a
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果


一元二次方程的根与系数的关系的应用二例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根x1,x2的和与积. （1）x2 + 7x + 6 = 0;解：设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.（2）2x2 - 2 = 3x.


例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.


同步练习：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.


例3 若x1,x2是方程2x2+6x+3=0的两根，求下列代数式的值。（1）x12+x22 (3)(x1-2)(x2-2) (5)(x1-x2)2


11
1.=1212+;xxxx+
xx
2
()2xxxx+-
12
1212
=;
xx
213.xxxx+221212xxxx+=
12
).(1)(14xx++=
xxxx+++()1;
12
1212
2
2
5.xx-=
()xx-
-+=+-xx=+x2221212x22.()2;x1x)(.4xxxx
12
12
1212
总结常见的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳12


1
∴k
2
∴x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.


3
2
当堂练习1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .1-2-3


c16
=.
a3
16
.
∴x1 =
3
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 =


4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.


6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.拓展提升


ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么应 用222121212()2xxxxxx+=+-22121212()()4xxxxxx-=+-
c
b
xxg=
xx+=-
12
12
a
a
11xx+
12
+=
xxxx�
1212
课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内 容如果一元二次方程


∣ 1 求m的值.2.已知关于x
的方程kx2-3x+1=0有实数根。若两根为x1,x2，当x1+x2+x1x2=4时，求k的值。3.已知方程x1,x2 是方程2x2+6x+3=0的两个实数根，利用韦达定理求下列式子的值。 (2)(x1-3)(x2-3)(3)2x12+3x1-3x2  
作业1.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2=