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优 翼 课 件
九年级数学上（RJ）教学课件24.3 正多边形和圆第二十四章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结
1. 了解正多边形和圆的有关概念；2. 理解并掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边 长之间的关系；（重点）3. 会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. （难点）学习目标
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?导入新课图片引入
问题1 什么叫做正多边形？各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.问题2 矩形是正多边形吗？为什么？ 菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.注意正多边形各边相等各角相等缺一不可讲授新课正多边形的对称性一
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？归纳
互动探究问题1 怎样把一个圆进行四等分？问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？ABCD·O正多边形的有关概念及性质三
�����
BDCCBEDC++=___=_____BCE；
����
�
DBCCBABC++=___=_____；
ACD
③∠A ∠E. 把⊙O 进行 5 等分，依次连接各等分点得到五边形ABCDE.(1) 填空：探究归纳·AOEDCB3＝(2) 这个五边形 ABCDE 是正五边形吗？简单说说理由.归纳：像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆.②3
①
AB=CD 的垂直平分线，∴ OA 、 OB，OD = OC.
∵GH 是边 AD、BC 的垂直平分线，
∴OA = OD，OB = OC.
OABCD问题3 以正方形为例，根据对称性，你能得出什么结论？EFGH结论一：正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆.证明：∵ EF 是边
∴OA = OB = OC = OD.∴ 正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆.
∴OE = OH = OF = OG.∴ 正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的内切圆.结论二：正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的内切圆.
OABCDEFGH证明：∵ AC、CA 分别是∠DAB 及∠DCB 的平分线，BD、DB 分别是∠ABC 及∠ADC 的平分线，
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且圆心相同.想一想
360°
n
OABCDERr正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心外接圆的半径叫做正多边形的半径内切圆的半径叫做正多边形的边心距知识要点正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于
360°
(2)180n-�°360°
n
nn
正多边形边数内角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多边形的外角 = 中心角完成下面的表格：练一练
计算二探究归纳S正多边形 =
②OC BC(填＞、＜或＝）；
③△OBC 是 三角形； ④ 圆内接正六边形的面
积 △是OBC 面 积 的 倍.⑤
周长�边心距
2
圆内接正 n 边形面积公式.___________________：CBDOEFAP60 =等边6正多边形的有关
如图，已知半径为 4 的圆内接正六边形 ABCDEF：① 它的中心角等于 度；
则∠ADE 的 度数是 （ ） A．60° B．45° C．36° D．30° ·ABCDEOC典
例精析解
析五边五边形 ABCDE 是正：由形且内接于⊙O，可
求36AE 所对的圆心角的度数等于 出弧 0°÷5 = 72°，
再根据圆
周角定D可得到∠A理E 的度数.
例1 如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，
题 如图，圆内接正五边形 ABCDE 中，对角线 AD 和 CE 相
交于点 P，则∠APE 的度数是（ A．36° B）．60°C．72° D．108° 解
析：由例 1 易得∠ADE = CED ∠= 36°，根据三角形的外角性质，得∠APE =
∠ADE + CED = 72°.∠CP ·ABCDEO
变式
亭子，它的地基 半径为 4是m 的正六边形，
求地基的周长和面积 (面积保留小数点后一位 ).抽象
成CDOEFAB4 m
例2 有一个
OB，过O O 作 点M⊥BC 于 M.在 Rt
BC4
==2，
△OMB 中，OB = 4，MB =亭子地基
22
用勾股定理，可得边心距亭子地基
r-==23.42
的周4 =l = 6×长 24 (m)，22
的面C4 mOAB积DEFMr解：连接
11
2
rlS=�=���)m.(6.143242
22
利
辅助线方
法一纳O边心距r边长归半半径RCM中心角一半
构造三角形.直角1.连半径，得中心角；OABCDEFRM r·圆内接正多边形的
2.作边心距，
长面 3积2 4 2 6 2 3362333218
4
2
123
63
练一练正多边形的边数边长半径边心距周
绕它的中心旋转后 45° ，就与原正多边形第一次重合，
那 个正多边形（ 么这 ）A．
是轴对称图形，但不是中心对称图形B．
是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既
是轴对称图形，又是中心对称图形D．既
不是轴对称图形，也不是中心对称图形当堂练习C
1. 一个正多边形
除C、 D 外任意一点，则∠CPD 的度数为（
． A）30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°B提
示：分类讨论，点P 可能在优弧上，也有可能在
劣弧上.
2. 如图，⊙O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 为 ⊙O上
则⊙O 的半径是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4C
22
2
正多边形的边心距与半径的比 为 1∶2，则
这个正多边形的边数是 .33. 如图，已知⊙O 的内接正方形的边长为 4，
4. 若
枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正
360
七边形，则其 心角为 中 度 (不取近
7
似_).值______
铁片截m长为 4 c出边 的正方形铁片，则选
用的圆形铁片的直径最c_____小要m.也就是要找这个正方形外接圆的直径5. 如图是一
42
6. 要用圆形
∠FAB 的度数；(2) 求
证：OG = OH．(1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠FAB = .
(62)180-�°
=120°
6
7. 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH．(1) 求
∵OA = OB，∴∠OAB =
∠OBA.∵∠FAB =
∠CBA，∴∠OAG =
∠OBH.∴△AOG≌△BOH (SAS).
∵ AG = BH，
∴OG = OH．又
(2) 证明：连接 OA、OB.
探索M如图，：，N 分别是，且O 内接正多边形的边AB，BC 上的点☉ BM = CN.(1) 图①中∠MON = °，图
② MON = 中∠°， 图
360°
�=MON
n
③ MON = 中∠ °；(2) 试
探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.9072120.ABCMNO图①ABCDMNO图
③
②ABCDEMNO图
拓广
两正圆是同心圆个多边形都是轴对称图形正多边形和圆的关系偶数边的正多边形同时也是中心对称图形，中心就是对称中心中心角、内角、外角、半径、边长、边心距的
计算
计算添加辅
助线的方法连：半径，作边心距圆内接正 n 边形圆外切正 n 边形任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，且这
课堂小结正多边形的性质正多边形的对称性正多边形的有关
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九年级数学上（RJ）教学课件24.3 正多边形和圆第二十四章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结
1. 了解正多边形和圆的有关概念；2. 理解并掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边 长之间的关系；（重点）3. 会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. （难点）学习目标
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?导入新课图片引入
问题1 什么叫做正多边形？各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.问题2 矩形是正多边形吗？为什么？ 菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.注意正多边形各边相等各角相等缺一不可讲授新课正多边形的对称性一
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？归纳
互动探究问题1 怎样把一个圆进行四等分？问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？ABCD·O正多边形的有关概念及性质三
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BDCCBEDC++=___=_____BCE；
����
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DBCCBABC++=___=_____；
ACD
③∠A ∠E. 把⊙O 进行 5 等分，依次连接各等分点得到五边形ABCDE.(1) 填空：探究归纳·AOEDCB3＝(2) 这个五边形 ABCDE 是正五边形吗？简单说说理由.归纳：像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆.②3
①
AB=CD 的垂直平分线，∴ OA 、 OB，OD = OC.
∵GH 是边 AD、BC 的垂直平分线，
∴OA = OD，OB = OC.
OABCD问题3 以正方形为例，根据对称性，你能得出什么结论？EFGH结论一：正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆.证明：∵ EF 是边
∴OA = OB = OC = OD.∴ 正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆.
∴OE = OH = OF = OG.∴ 正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的内切圆.结论二：正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的内切圆.
OABCDEFGH证明：∵ AC、CA 分别是∠DAB 及∠DCB 的平分线，BD、DB 分别是∠ABC 及∠ADC 的平分线，
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且圆心相同.想一想
360°
n
OABCDERr正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心外接圆的半径叫做正多边形的半径内切圆的半径叫做正多边形的边心距知识要点正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于
360°
(2)180n-�°360°
n
nn
正多边形边数内角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多边形的外角 = 中心角完成下面的表格：练一练
计算二探究归纳S正多边形 =
②OC BC(填＞、＜或＝）；
③△OBC 是 三角形； ④ 圆内接正六边形的面
积 △是OBC 面 积 的 倍.⑤
周长�边心距
2
圆内接正 n 边形面积公式.___________________：CBDOEFAP60 =等边6正多边形的有关
如图，已知半径为 4 的圆内接正六边形 ABCDEF：① 它的中心角等于 度；
则∠ADE 的 度数是 （ ） A．60° B．45° C．36° D．30° ·ABCDEOC典
例精析解
析五边五边形 ABCDE 是正：由形且内接于⊙O，可
求36AE 所对的圆心角的度数等于 出弧 0°÷5 = 72°，
再根据圆
周角定D可得到∠A理E 的度数.
例1 如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，
题 如图，圆内接正五边形 ABCDE 中，对角线 AD 和 CE 相
交于点 P，则∠APE 的度数是（ A．36° B）．60°C．72° D．108° 解
析：由例 1 易得∠ADE = CED ∠= 36°，根据三角形的外角性质，得∠APE =
∠ADE + CED = 72°.∠CP ·ABCDEO
变式
亭子，它的地基 半径为 4是m 的正六边形，
求地基的周长和面积 (面积保留小数点后一位 ).抽象
成CDOEFAB4 m
例2 有一个
OB，过O O 作 点M⊥BC 于 M.在 Rt
BC4
==2，
△OMB 中，OB = 4，MB =亭子地基
22
用勾股定理，可得边心距亭子地基
r-==23.42
的周4 =l = 6×长 24 (m)，22
的面C4 mOAB积DEFMr解：连接
11
2
rlS=�=���)m.(6.143242
22
利
辅助线方
法一纳O边心距r边长归半半径RCM中心角一半
构造三角形.直角1.连半径，得中心角；OABCDEFRM r·圆内接正多边形的
2.作边心距，
长面 3积2 4 2 6 2 3362333218
4
2
123
63
练一练正多边形的边数边长半径边心距周
绕它的中心旋转后 45° ，就与原正多边形第一次重合，
那 个正多边形（ 么这 ）A．
是轴对称图形，但不是中心对称图形B．
是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既
是轴对称图形，又是中心对称图形D．既
不是轴对称图形，也不是中心对称图形当堂练习C
1. 一个正多边形
除C、 D 外任意一点，则∠CPD 的度数为（
． A）30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°B提
示：分类讨论，点P 可能在优弧上，也有可能在
劣弧上.
2. 如图，⊙O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 为 ⊙O上
则⊙O 的半径是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4C
22
2
正多边形的边心距与半径的比 为 1∶2，则
这个正多边形的边数是 .33. 如图，已知⊙O 的内接正方形的边长为 4，
4. 若
枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正
360
七边形，则其 心角为 中 度 (不取近
7
似_).值______
铁片截m长为 4 c出边 的正方形铁片，则选
用的圆形铁片的直径最c_____小要m.也就是要找这个正方形外接圆的直径5. 如图是一
42
6. 要用圆形
∠FAB 的度数；(2) 求
证：OG = OH．(1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠FAB = .
(62)180-�°
=120°
6
7. 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH．(1) 求
∵OA = OB，∴∠OAB =
∠OBA.∵∠FAB =
∠CBA，∴∠OAG =
∠OBH.∴△AOG≌△BOH (SAS).
∵ AG = BH，
∴OG = OH．又
(2) 证明：连接 OA、OB.
探索M如图，：，N 分别是，且O 内接正多边形的边AB，BC 上的点☉ BM = CN.(1) 图①中∠MON = °，图
② MON = 中∠°， 图
360°
�=MON
n
③ MON = 中∠ °；(2) 试
探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.9072120.ABCMNO图①ABCDMNO图
③
②ABCDEMNO图
拓广
两正圆是同心圆个多边形都是轴对称图形正多边形和圆的关系偶数边的正多边形同时也是中心对称图形，中心就是对称中心中心角、内角、外角、半径、边长、边心距的
计算
计算添加辅
助线的方法连：半径，作边心距圆内接正 n 边形圆外切正 n 边形任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，且这
课堂小结正多边形的性质正多边形的对称性正多边形的有关
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