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优 翼 课 件 R 八年级数学上（ J） 教学课件
12.3 角的平分线的性质第十二章 全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 角平分线的性质


学习目标1. 通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理；（难点）2. 能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.（重点）


挑战第一关 情境引入问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 导入新课用量角器度量，也可用对折的方法.问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板 等，还能用对折的方法得到木板、 钢板的角平分线吗？


提炼图形


问题3：如图所示是一个角平分仪，其中 AB = AD，BC = DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，则 AE 就是角平分线. 你能说明其中的道理吗?ABC(E)D其依据是利用 SSS 判定两个三角形全等，从而得到两全等三角形的对应角相等.


挑战第二关 探索新知问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO尺规作角平分线一做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC = DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？讲授新课


、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.ABMNCO已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.仔细观察作图步骤 作角的平分线是最基本的尺规作图之一，大家一定要掌握哟!
1
2
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；(2) 分别以点 M


已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB 的平分线.结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC


一点.角平分线的性质二讲授新课猜想
不同的位置分，别过点 P 作 PD⊥OA，PE⊥OB，点 D，E 为垂
足测量 PD、，PE 的长. 将三
次数据填入下表P：DPE第一
次第二
次第三
次COBAPDE实验：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的 任意
：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1.操作测量：取点 P 的三个


猜想已知：如图，∠AOC =
距离相等
∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂
足别为 分D，E.求证：PD = PE.PAOBCDE证明：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴
∠PDO = EOP∠ = 90°.在
△PDO 和 PEO△中，∠PDO =
∠PEO，∠AOC = ∠BOC，OP = OP，∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴PD = PE.角的平分线上的点到角的两边的
验证


般情况何命我们要证明一个几下，题时，可以按照类似
归纳
的步骤进行，即1. 明
确命题中的已知和求证；2. 根
据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3. 经
过分析，找出由已知推出论的证的结要途径，写
出证明过程.方法
一


识点BADO要PEC应用
距离相等.应用所具
备点条件：(1) 的在角的平分线上；(2) 到角两边的
距离(垂直).定理的作用： 证明线
段相等.知
格式：
∵OP 是∠AOB 的平分线，∴ PD = PE.PD⊥OA，PE⊥OB，推理的条件有三个，必须
写完全，不能少
性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的


左图，因∠ AD 平分为BAC (已知)， 所以 ＝ .( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的
距离BD CD×相等BADC(2) 如上
右图，因 DC⊥为AC，DB⊥AB (已知)，所以 = .( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的
距离D等BD C相×BADC
判一判：(1) 如下


△ABC 中，AD 是它
，平分线，且 BD = CD，DE⊥AB的角 DF⊥AC，垂
足别为 E，F分. 求证：EB = FC.ABCDEF证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，
DF⊥AC，∴ DE = DF，∠DEB =
∠DFC = 90°.在Rt
△BDE 和 Rt CDF 中，DE△= DF，BD = CD，
∴Rt△BDE≌RtL)CDF (H△.∴ EB = FC.典例精析
例1 已知：如图，在


足D别是 分，E，PD = 4 cm，则 PE = ____cm.BACPMDE4温馨
提示：存在两条垂线段——直接应用典例精析
例2 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂


式：如图，在 Rt∠ABC 中，AC＝BC，△C＝90°，AP 平分∠BAC 交
BC 于点 P，若BPC＝m，A ＝14.(1) 点 P 到 AB 的
距离_____；AB为CPDm温馨
提示：存在一条垂线段——构造应用
变


式：如图，在 Rt∠ABC 中，AC＝BC，△C＝90°，AP 平分∠BAC 交
BC 于点 P，若＝PC m，AB＝14.(2) 求
△APB 的面积( 用含 m 的式子表示)；ABCPD(3) 求
由C平分线的性质，可知 PD = P角 = m，=解：
1
S=
∴AB · PD = 7m.解：
DPDB
2
△PDB 的周长.
由题意可证 ≌ACP△△ADP，
∴AC = AD.∴DCDPBDBPCPBPB=++=++
DPDB
==+=+=BDDAABBDBC.41
变


识平分线方法利用角与的性质所得到的等量关系进
在角平分线涉及距离
问题2. 联系角平分线的性质：面
积周
行转化求解
长条件知
1. 应用角平分线的性质：存


足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .60BFEBDFACG
△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的
距离 是 .ABCD3E1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂
当堂练习2.


意如图所示，则能说明图∠AOC =
∠BOC 的依据是（ ）A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到 角两边的
距离ABM相等NCOA
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示


垂ABC 的角平分线，DE⊥AB，△足 E，S为△ABC ＝
7，DE ＝ 2，AB ＝4，则 AC 的长是 (　　 )A. 6 B. 5 C. 4 D. 3DBCEADF方法
析⊥点 D 作 DF：过AC 于 F，
∵AD 是分线ABC 的角平△，DE⊥AB.
∴DF ＝ED ＝ 2. 解得 AC＝3.4. 如图，AD 是
11
CSA=�+�=�4722，
△ABC
22
总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高
，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法.
解


△ABC 中，∠C = 90°，BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于 E，则：(1) 哪
条线段DE 相等？为什么？解：与 DC = DE. 理
由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
EDCBA5. 如图，在 Rt


AB＝10，BC＝8，AC＝6，求 BE，AE 的长和
△AED 的周长.解：
∵平BD 分∠ABC，∴＝CB∠D∠EBD. 在
△CDB 和中EDB △， ∠C＝
∠BED，
∠CBD＝ EBD， ∠ DB＝DB，
∴△CDB≌△EDB (AAS).
∴BE＝BC＝8. EA∴＝AB - BE＝2.
∴△AED 的周 AE＋ED＋DA＝长为2＋6＝8.EDCBA6810
(2)若


的距离.
∵AD∥BC，
∴MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 间的距离.
∵AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，
同PM = PE. ∴理，PN = PE.
∴PM = PN = PE =3.
解：过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N.
∴MN = 6， 即 AD 与 BC 之间的距离 6.6. 如图，已知 AD∥BC，P 为是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间


足， E分别为F. 求证：CE＝CF.DE = DF，CD = CD，
∵ECD 平分∠ACG，D ⊥AC，DF⊥CG，
∴DE = DF.在 Rt
△CDE 和 Rt CDF 中， △ ∴△CDE≌△CDF (HL).
∴CE = CF.7. 如图，D 是∠ACG 的平分线上的一点，DE⊥AC，DF⊥CG，垂
证明：


于基本作图，必须熟练掌握
距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线
段(距离)相等辅
助线添加过角平分线上一点
向两边作垂线段尺规作图属
课堂小结角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；二