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第三章 图形的相似3.2.1 平行线分线段成比例湘教版 数学 九年级上册
1.平行线等分线段定理.2.平行线分线段成比例.学习目标
，则A1B1 = B1C1. 由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 这个猜测是真的吗?导入新知
复习提问 引出问题 如图是一架梯子的示意图. 由生活常识可以知道：AA1， BB1，CC1，DD1 互相平行，且若AB=BC
直线l1， l2 ，被直线a，b， c
截得的线段分别为AB，BC A1B1和，B1C1，且AB = BC.
过点B 直线l3∥l2作，分别与直线a， c
相交于点A2 ，C2 . 由于a∥b∥c，l3∥l2 “
，因此由夹在”
两平行线间的平行线段相等可知， A2B = A1B1 ，BC2 = B1C1.探究新知
新知一 平行线等分线段定理 如图，已知直线a∥b∥c
在△BAA2 ∠△BCC2 中， ∠ABA2 = 和CBC2， BA=BC，∠BAA2=∠BCC2，
因此△BAA2 ≌△BCC2.
从而BA2=BC2 ，
所以A1B1=B1C1.
•1. 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
”第三边；简记为中点+ →分平行中点.
•2. 拓展：•经过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必然平•“
．平行线等分线段定理的几个基本图形如图3.2-1
示，若已知l1 所∥l2
∥l3，AB=BC，根据定理可直接得到A1B1=B1C1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．
•3
特别提醒两个条件：1. 必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；2. 在某一条直线上截得的线段相等.满足上述两个条件，才能保证这组平行线在另一条直线上截得的线段相等．
′OE 五等分，AA把∥ BB′
∥ CC′ ∥DD′ ∥EE′，如果OE′=20 cm 么那，B′D′等于( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 6 cm D. 8 cm
例 1如图，A，B，C，D
方法技巧 在解决此类问题时， 一定要充分理解和把握平行线等分线段定理的条件和结论，条件有一组平行线，右边或是左边有一组等分点，那么就一定有相应的结论：左边或是右边的点一定是左边线段或是右边线段的相应的等分点 .
解：由平行线等分线段定理得出OA′ = A′B′ = B′C′ = C′D′ = D′E′ ， 又∵OE′ = 20 cm，∴OA′ = A′B′ = B′C′=C′D′= D′E′= 4 cm，
∴B′D′=B′C′+C′D′=8 cm.答案：D
如图，直角梯形ABCD 中，AD CBC，AB ⊥ B∥，M 是CD 的中点. 求证：MA=MB.例2
方法点拨在解答几何问题时，辅助线非常重要. 辅助线作得是否合适，决定了很多几何问题是否能解答出来. 此题的辅助线是我们解答几何问题时常用的辅助线之一：过中点作平行线.
∥AD.因为M 是CD的中点，所以N 是AB 的中点，即AN=BN.因为AB⊥BC，MN∥BC，所以AB⊥MN，所以MA=MB.
证明：如图3.2-3，过点M 作MN∥BC，交AB 于点N，则MN∥BC
，∵l3∥l4 Cl5，.=,=,=.ABDEABDEBCEFBCEFA∥DFACDF\===，，上上上上下下可简记为：下下全全全全
新知二 平行线分线段成比例•1. 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.•数学表达式：如图3.2-4
要点解读1. 一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；2. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段,与这组平行线上的线段无关；3. 利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上.
∥BC ，则有
ADAE
=.ADAEDBECDBECABAC==或
ABAC
或
•2. 平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.数学表达式：如图3.2-5，若DE
特别提醒1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条与三角形一边所在直线重合的特殊情况.2.成比例线段不涉及平行线上的线段.3.当被截的两条直线相交时，其交点处可看成含一条隐形的平行线.
∥CD ∥EF，AF 交BE 于点H. 下列结论中, 错误的是( )A.B.C.D.
BHAH
=
HCHD
ADBC
=
DFCE
HCHD
=
HEDF
AFBE
=
DFCE
例 3如图3.2-6，已知AB
解法提醒在题目中遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例.
：∵AB 解∥CD ∴EF，∥故选项A，B，D 正确.
BHAHADBCAFBE
===，，HHCHD，EHF=答案：C
HCHDDFCEDFCE
∵CD ∥EF，
∴，故选项C 错误.
如图，已知ABCD ，∥AD 与BC 交相于点O，
若 AD＝10，则AO= ________.23BOOC=，例4
技巧点拨利用平行线分线段成比例的基本事实或推论求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到平行线截得的线段间的比例关系，再结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长.
∵AB ∥ CD ，
AOBO2
∴即
==，
ODOC3
AO2
=，答案：4
103-AO
解得AO = 4.
解：
分线段成比例分线段成比例一组平行线两条直线化成三角形成比例线段归纳新知
再 见再 见
1.平行线等分线段定理.2.平行线分线段成比例.学习目标
，则A1B1 = B1C1. 由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 这个猜测是真的吗?导入新知
复习提问 引出问题 如图是一架梯子的示意图. 由生活常识可以知道：AA1， BB1，CC1，DD1 互相平行，且若AB=BC
直线l1， l2 ，被直线a，b， c
截得的线段分别为AB，BC A1B1和，B1C1，且AB = BC.
过点B 直线l3∥l2作，分别与直线a， c
相交于点A2 ，C2 . 由于a∥b∥c，l3∥l2 “
，因此由夹在”
两平行线间的平行线段相等可知， A2B = A1B1 ，BC2 = B1C1.探究新知
新知一 平行线等分线段定理 如图，已知直线a∥b∥c
在△BAA2 ∠△BCC2 中， ∠ABA2 = 和CBC2， BA=BC，∠BAA2=∠BCC2，
因此△BAA2 ≌△BCC2.
从而BA2=BC2 ，
所以A1B1=B1C1.
•1. 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
”第三边；简记为中点+ →分平行中点.
•2. 拓展：•经过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必然平•“
．平行线等分线段定理的几个基本图形如图3.2-1
示，若已知l1 所∥l2
∥l3，AB=BC，根据定理可直接得到A1B1=B1C1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．
•3
特别提醒两个条件：1. 必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；2. 在某一条直线上截得的线段相等.满足上述两个条件，才能保证这组平行线在另一条直线上截得的线段相等．
′OE 五等分，AA把∥ BB′
∥ CC′ ∥DD′ ∥EE′，如果OE′=20 cm 么那，B′D′等于( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 6 cm D. 8 cm
例 1如图，A，B，C，D
方法技巧 在解决此类问题时， 一定要充分理解和把握平行线等分线段定理的条件和结论，条件有一组平行线，右边或是左边有一组等分点，那么就一定有相应的结论：左边或是右边的点一定是左边线段或是右边线段的相应的等分点 .
解：由平行线等分线段定理得出OA′ = A′B′ = B′C′ = C′D′ = D′E′ ， 又∵OE′ = 20 cm，∴OA′ = A′B′ = B′C′=C′D′= D′E′= 4 cm，
∴B′D′=B′C′+C′D′=8 cm.答案：D
如图，直角梯形ABCD 中，AD CBC，AB ⊥ B∥，M 是CD 的中点. 求证：MA=MB.例2
方法点拨在解答几何问题时，辅助线非常重要. 辅助线作得是否合适，决定了很多几何问题是否能解答出来. 此题的辅助线是我们解答几何问题时常用的辅助线之一：过中点作平行线.
∥AD.因为M 是CD的中点，所以N 是AB 的中点，即AN=BN.因为AB⊥BC，MN∥BC，所以AB⊥MN，所以MA=MB.
证明：如图3.2-3，过点M 作MN∥BC，交AB 于点N，则MN∥BC
，∵l3∥l4 Cl5，.=,=,=.ABDEABDEBCEFBCEFA∥DFACDF\===，，上上上上下下可简记为：下下全全全全
新知二 平行线分线段成比例•1. 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.•数学表达式：如图3.2-4
要点解读1. 一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；2. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段,与这组平行线上的线段无关；3. 利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上.
∥BC ，则有
ADAE
=.ADAEDBECDBECABAC==或
ABAC
或
•2. 平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.数学表达式：如图3.2-5，若DE
特别提醒1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条与三角形一边所在直线重合的特殊情况.2.成比例线段不涉及平行线上的线段.3.当被截的两条直线相交时，其交点处可看成含一条隐形的平行线.
∥CD ∥EF，AF 交BE 于点H. 下列结论中, 错误的是( )A.B.C.D.
BHAH
=
HCHD
ADBC
=
DFCE
HCHD
=
HEDF
AFBE
=
DFCE
例 3如图3.2-6，已知AB
解法提醒在题目中遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例.
：∵AB 解∥CD ∴EF，∥故选项A，B，D 正确.
BHAHADBCAFBE
===，，HHCHD，EHF=答案：C
HCHDDFCEDFCE
∵CD ∥EF，
∴，故选项C 错误.
如图，已知ABCD ，∥AD 与BC 交相于点O，
若 AD＝10，则AO= ________.23BOOC=，例4
技巧点拨利用平行线分线段成比例的基本事实或推论求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到平行线截得的线段间的比例关系，再结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长.
∵AB ∥ CD ，
AOBO2
∴即
==，
ODOC3
AO2
=，答案：4
103-AO
解得AO = 4.
解：
分线段成比例分线段成比例一组平行线两条直线化成三角形成比例线段归纳新知
再 见再 见
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