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优 翼 课 件
九年级数学上（RJ）教学课件24.4 弧长和扇形面积第二十四章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 弧长和扇形面积



学习目标1. 理解弧长和扇形面积公式的探求过程；(难点）2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）


导入新课图片欣赏


如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？怎样计算弯道的“展直长度”？因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.导入新课情境引入图片来源：新浪体育


CR=2π
讲授新课与弧长相关的计算一问题1 半径为 R 的圆，周长是多少？OR问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别占圆周长的多少?OR90°OR45°ORn°合作探究OR180°


180
3609036045360360n
180
360
90
360
45
360
n
360
(1) 圆心角是 180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的(2) 圆心角是 90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的(3) 圆心角是 45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的(4) 圆心角是 n° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的________.________.________.________.


nnRπ
lR==g2π
360180
4
π
3
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.知识要点弧长公式算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为 ．


7
0
m
0
m


m
100900�p
0
0
m
7
l=
R

=
O(100°ACBD
180
9
0
0

m
=p(mm)500，
m
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 L (单位：mm，精确到 1 mm).解：弧 AB 的长为因此所要求的展直长度 L = 2×700 + 500π ≈ 2971 (mm). 答：管道的展直长度约为 2971 mm.


nπ10�
=15.7，
180
·OA解：设半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的度数为 n°，则解得 n ≈ 90°.因此，滑轮旋转的角度约为 90°. 一滑轮起重机装置 (如图)，滑轮的半径 R = 10 cm，当重物上升 15.7 cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 逆时针方向旋转多少度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π 取 3.14)练一练


由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.OBA圆心角弧OBA扇形与扇形面积相关的计算二概念学习


判断：下列图形是扇形吗？√×××√练一练


2
Sr=π
呢?Or180°Or90°Or45°Orn°
合作探究问题1 半径为 r 的圆,面积是多少？Or问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？具体是多少


1
180
18012
πr
=
3603602
2
11
90
90
2
πr
=
360360n4
3604
1
451
45
2
πr

360
8360n
3608
n
2
πr
360
圆心角占周角的比例扇形面积占圆面积的比例扇形的面积=


2
nrπ
S=.
扇形
360
①公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记
忆（即按照上面推导过程记
忆意.注）知识要点
半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积


击视频开始播放→
洋葱学院点
视频：弧长和扇形面积公式的推导视频来源：


哪些因素 关？ 有 大
小不变应时，对变 ，扇形面积与 时 有关， 越大
的扇形面积与 有关， 越
，面积大.圆心角半径越 圆心角 总
长，面积圆的.圆心角半径半径越大 不
结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
●O ABDCEF ●OABCD问题3 扇形的面积与


系吗？ 想
比学习
nrπ
l3602π==nrS扇形
180
1
rnrnrπ1π1
即Slr=
Srlr=�=��=，
扇形
扇形
2
180221802
1
Sah=
一想 扇形的面积公式与什么公式类似 ？ABOO类
三角形
2
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联


∵rn = 60， = 10 cm，∴
60
°解：
该扇形的面积为该
2
2
60π10�
nrπ50π
2
=
S==
�.36(cm)52，
3603
360
扇形的周长为
nrπ
60π10�
10π
lr=2+
=20+
�30.4(cm).7
=20+
180
180
3
例2 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10 cm. 求这个扇形的面积和周长（精确到 0.01 cm2 和 0.01 cm）.


其 为 弧长cm，则这个扇形的面积 S = .2. 已知扇形的圆心角为 120°，半径为 2，则这个扇形的面积 S = .练一练
4
π
3
4
2
πcm
3
4
π
3
1. 已知扇形的半径为 2 cm，


水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，
其中水面高 0.3 m，求截面上有水 分的面积 (精确到部0.01 m2).(1)O .BA 讨论
截(1) ：面上有水部分的面积是
指图上哪一部分？阴影
部分.
例3 如图，


面高是 .3 m 0指哪一条线段的长？这条线
段应该怎样画出来？过点
O 作DO ⊥AB 于点 D，并延 长OD 交
圆 O 于 C. 则线段 DC 的长为水面
高. (3) 要求图中
阴影部分面积，应该怎么办？S阴影
= S扇形
OAB - S△OABO.BAD(2)C
(2) 水


连接 OA、OB，过点作 O 弦 AB 的垂线，
�AB
垂足为 D，交 于点 C，连接 AC.
∵OC＝0.6，DC＝0.3，
∴OD＝OC - DC＝0.3.
∴OD＝DC.又
AD⊥OC，
∴AD 是线段的OC 垂直平分线.
∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60°，
∠AOB＝120°.O.BACD解：如图，



△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m，
3
22
∴AD = m.
OAOD=-3
10
3
∴AB = 2AD = m.∴
3
5
截面上有水 分的面积为S = S扇形AOB部- SΔOABO.BACD
120π1
2
=�-�0.6ODAB
3602
13
2
���-=0.12π22(.0.0.33m)
25
在 Rt


形的面积公式
图： S弓
三 = S扇形 - S形角形•右
图：S弓
三 = S扇形 + S形角形OO弓
三面积 = 扇形的面积 ± 形的角形的面积知识要点弓
•左


扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为（
　　 A．π ） B．2π C．3π D．4π1. 已知弧所对的圆周角为 90°，半径是 4，则弧长为 .当堂练习B4π
2. 某


，ACB 是⊙O 的圆周角∠若⊙O 的半径为 10，
∠ACB = 45°，则扇形 AOB 的面积为（　　 A．5 π ） B．12.5 π C．20 π D．25 πD
3. 如图，


☉B、 ☉C、 两不相D两☉交，且半径
2
都 2 cm是，则图中阴影 分的面积是部 .ABCD
12cmp
4.如图，☉A、


变，式题） 如图水平放的圆置柱形排水管道的
截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有
水分的面积 (精确到 0.01 m2）部. OABDCE解：
SSS=+
△AOB
弓形扇形
240π1
2
��+�=6.0330.6.0
3602
=+0.24π0.093
2
�0.91m.
()
5.（例题


边cm长为 10 的等 三边角形模板 ABC 在
水平桌面上绕顶 点C 按顺到 针方向旋转时△A'B'C 的位置，求
顶点 A 从开始到结束所经过的路程.解：由图
可知，由则等∠A'CB' = 6于°，0边三角形木板
按C 绕点 顺旋转时针方向了120°，即∠ACA' = 120°，这
说明顶 A点经过的路程长等于弧 AA' 的长.∵
等边三形 角ABC 的边长为 10 cm，∴
弧 AA' 所在圆的半径为 10 cm.∴
120π1020g
所求路 为 l弧AA'程ABA'B'C
==πcm).(
1803
6. 如图，一个


nRp
l=
180
2
nRπ
S=
扇形
360
部分面积求
法：整体思想弓
1
SlR=
扇形
2
三= S扇形 - S形 角形S弓
形公式S弓
弧长计算公式：扇形公式阴影
三= S扇形 + S形 角形割补法课堂小结