NEW2023 / 07第 1 章空间向量与立体几何人教a版2019选修第一册1.1.2 空间向量的数量积运算


1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角2.掌握空间向量数量积的性质及运算律3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的垂直及平行 学习目标


Topic. 0101复习回顾


AOB
� AOBB
，则 的取值范围为
AOB设 作记0当 时，两向量互相垂直,:
090
a点的注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起b

复习回顾：平面向量的数量积平面向量数量积的相关知识• 平面向量的夹角：已知两个非零向量 和， 在平面上取一点， 作 =, = ，则 叫做向量与 的夹角。  


ab
a 定 并规0b|a||b|soc
a复习回顾：平面向量的数量积0
•平面向量的数量积的定义：已知两个非零向量, b，则|| |b| 叫做向量, b的数量积，记作 


Topic. 0202空间向量的夹角


空间向量的夹角由于空间任意两个向量共面,所以空间向量可以先平移到同一平面,故空间向量有关定义与平面向量类似.请阅读课本.思考以下问题?空间向量的数量积：


空间向量的夹角　(1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则 叫做向量，的夹角，记作 ． (2)范围：〈，〉∈ .特别地，当〈，〉＝ 时，两向量，同向共线；当〈，〉＝π时，两向量， ，所以若∥，则〈，〉＝0或π；当〈，〉＝时，两向量，互相 ，记作 . AOB〈，b〉 [0，π]0反向共线垂直⊥ 


Topic. 0303空间向量的数量积


空间向量的数量积(2)运算律：①(λ)·＝ ； ②交换律：·＝ ；③分配律：·(＋)＝ .（3）性质：①⊥⇔·b＝0;　②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2; ③ 零向量与任意向量的数量积为0，即0·＝0; ④ |·|≤||·||. λ(·) · ·＋· ||||cos〈，〉 · (1)平面中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·.即 = 注意：1.两个向量的数量积是数量， 而不是向量 2.数量积运算不满足结合律


空间向量的数量积1.下列命题中，假命题是(　　)A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.D


a，相反互为b向量，已知||＝b3，则下列结论正确的是(　　)A.
a＝b B. a＋b为实数0 C.
a与. |方向相同 b D a|＝3空间向量的数量积D
a，互b为相反向量，则a，等模相b、方向相反.故D正确.2.向量
解析　向量


、a异面直是线，且b⊥ab，e1、取自直2分别为线e、ab上的单位向量，且
a＝2e1＋3，e2b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.解析　由
a⊥b，得a·b＝0，∴(2
e1＋3e2)·(k41e－e2)＝0，∴2
∴－12＝0，kk＝6.空间向量的数量积6
6.已知


Topic. 0404投影向量





a
B
a
a
A


a
a
a
a
b
a
r
l
r
r
r�
B
c
�
A
c
b
c
(2)
(1)
(3)
投影向量内，，。 


Topic. 0505 空间向量的数量积运算


空间向量的数量积运算例1.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)·；(2)；(3) ·. 【解析】　(1)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝，所以＝.(2)＝＝×1×1×cos 0°＝，所以＝ .(3) ·＝ ·＝×1×1×cos 120°＝－，所以＝－. 【类题通法】在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可．注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角．




||||BAAAACAD
uuuuruuuruuuruuuur
22
��
++=\AADABA)(|AC|
uuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuur
222
���
�+�+�+++=B(ABADA2AAADAA)|AA||AD||AB|
222
=++�+++=).5785010(2534


|85|AC
空间向量的数量积运算例2.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5,BAD=90°,BAA'=DAA'=60°, 求对角线AC'的长。D'C'B'DABCA'


共面向量例3.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．求cos〈，〉的值． 解　因为＝－＝＋－，＝＋，所以||2＝()2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，||2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝，＝()·()＝2－2＝22－12＝3，所以cos〈，〉＝＝＝ 空间向量的数量积运算


课堂小结