第九节　函数模型及其应用1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)




2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性单调_____单调____单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与 平行随x的增大，逐渐表现为与 平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logaxg(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x)．答案：B　








于1 300元，则x销量x的取值范围是(　 )A．{日|20≤x≤30，x∈N*} B．{x|20≤x≤45，x∈N*}C．{x|15≤x≤30，x∈N*} D．{x|15≤x≤45，x∈N*}解析：由题意日销量x件时，利润是y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，－2x2＋130x－500≥1 300，(x－20)(x－45)≤0,20≤x≤45.故选B.答案：B　
2．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(单位：件)与单价P(单位：元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(单位：元)，其中C＝500＋30x，若要求每天获利不少








点”就解]求过已知函数模型解
决关际问题的实键(1)认清
所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用
待定系数法确，定模型中的待系定数．(3)利用该函数模型，
借助函数的性质、导进等求解数际问题，并实行检验.
[一“


点全]1训．(2022·肇庆高
三三模)某工厂从2013年开始，近八年产来生以某种产品的情
况是：前四年年的量产增长速度越来越慢后，年年四度产量的增长速保持不变，
则该厂这种产品的年可量y与时间t的函数图象产能是(　 )解析：由题意可得，图象的几
何特征应为从左向右看每个点的切线斜率应逐渐
减小，然后斜率，为一个变定的值固符合此特征的只有选项B中的图象，故选B.答案：B　
基础点(二)　利用函数图象刻画实际问题　[题


方形ABCD的边长为4，折点P从点动B开始沿线BCDA向A点运动
．设点P运动的路程面x，△为P的AB积为S，则4数S＝f(x)的图象是(　 )解析：依题意知，当0≤x≤函时，f(x)＝2x；当4观察四个选项知D项符合要求．答案：D　
2．已知正


明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他出点A从发，沿箭头方向经过点B跑
到C，共用时点30 s，他的教练择选了位一固定的个察置观小明跑步的过
程，设小明跑步时的间为t(他位：s)，单与教练间的距离为y(单位：m)，表示y与t的函数关系的图象大
致如图2所示，则这个固定位置是能可图1中的(　 )A．
点M B．．N 点C 点P D．点Q
3．小


置在点M，化从A至B这段时间，则y不随t的变改变，不函数图象与
符，故A选项错误位；设这个假置在点N，则从A至C这段时间，A点
与C点不应y的大小应该相同，与函数图象对符选，B项故误错；位假设这个
置在点P，则由函数图象可得，过从到C的A程中，会有一个时刻，
教练到小明的距离等经于过30 s时教小到练明的离距，而不点P符合这个
条C件，故选项错误；经判断点Q符函合数图象，故D选项正确．答案：D　
解析：假设这个位


点”就过]判断
函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建
函数模型法当：根据题意易构建先数模型时，函建立函数模型，再
结合模型选图象．(2)验证
法中根据实际问题：两变量的变化快慢等特点变结合图象的，化趋势，验证是
否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案.
[一“


精研(补欠缺)重难点(一)　
构建次函数模型　二[典例]　某
餐厅经营盒饭意生，每天的房租、人员工本等固定成资为200元，每
盒盒饭成本为15的元，销售单价与日均销售量的关系如下表根据以上数据，当这个
餐厅大利润最日时，每盒盒饭定价为(　 )A的．16.5元 B．19.5元C．21.5
元D．22元单价/元16171819202122日销售量/盒480440400360320280240
重难点——逐一




积题题、利润问问、产量问题等一般选用二次函数模型，根据已知
条函确定二次函数解析式．结合二次件数的图象、最值、单调性、零点
知等识解将实际问题决．　　
实际问题中的面


对训练]1．有一
批材料可以建成200 m的围墙此如果用，材料在一边靠墙
的地方围成一块矩形场地同中，用间样的材料隔成三个面积
相等的矩围(如图形示)，若所厚墙不计，度则的围成矩形最大面积)(　 为A．2 500 m2 B．2 750 m2C．3 000 m2 D．3 500 m2解析：设
矩形的宽x为 m，则该矩以的长为形200－4x)m，所(，矩形的面
积4S＝x(200－为x)＝－4(x2－50x)＝－4(x－25)2＋2 500，其中0[针


和浩特高三阶段练习)一商家为某市无偿设计制作了一批新式分类
垃圾桶，它近似呈长方体状，且其高米0为45.，长和宽和为之2.4米，现用
铁皮制作该垃圾桶，按长方体计算，使则这个垃圾桶量容的最大时(不
考虑损耗，不需虑桶盖考)，耗费的铁皮面的积)(　 为A．3.84平
平米 B．3.6方方米C．6.28
平方米D．4.8平米方解析：设长为x米
，则宽米(2.4－为x)，体积为V立方米0.45由题意知，V＝，x(2.4－x)＝0.45(2.4x－x2)＝0.45[－(
x－1.2)2＋1.44](0方米，即长为1.2米，宽为1.2米
时，容量最大，此时铁皮面积×1.2×1.2＋0.45为1.2×2＋0.45×1.2×2＝3.6平
方米故选B.．答案：B　
2．(2023·呼




技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底
数大函1)的一类于数模型，与增长
率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解
决数数函数、对数函指模型问题时，一般要需先通过待定系数确法定函数解析式，
再借助可数的图象求解最值问函，必要时题借助导数．　　
掌握2种函数模型的应用


对训练]某化
工厂产生的废气中污染物，含量为1.2 mg的/cm3排放前每过滤一次，该
污染物的含量都会减少20%，当地保环部门求要废气中该物染污的含量不能
超2过0. cg/mm3，若要使该工的厂废气达标排放，那么该污染物排过前需要放
滤(的数至少为次参考0.47据：lg 2≈0.3，lg 3≈数7)(　 )A．5 B．7 C．8 D．9
[针




构建分段函数模型解决际问题[实典例]　(1)(2023·西安
模拟)某建材商场国庆期间促搞销活动：规定，顾客购物总
金额不超不过800元，享受任何折扣；果如顾客购物总金额超过800元，
超则元过800部分受享一定的折扣优惠并，按下表折扣分别累计计算：若某
享受折扣优惠金额折扣率不
超部500元的过分5%超
过500元的部分10%
顾客在此商场的得获折扣金额，为元50则此人购物实际所付金额(为　 )A．1 500元 B．1 550元C．1 750
元D．1 800元可以
重难点(三)　




些不量间的关系变能用同一个关系式给个，而是由几出不同的关系式
构成，如出租车的计费与路程应间的关之，系构建型段函数模分求解．　　
实际问题中有


对训练]1．
旅行社某为游旅游团租机旅飞，其中旅行社的包机费为15 000元．旅游团中每人的
飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅团游的人数不超35过人，则飞机票
每张收若费800；元旅游团的人数，多35人于则给予优惠，每多1人，
票机每张少，10元收但旅游团的人数不超该60人．设过旅游团数人的，x人为
飞机票总用为费y元，旅行票从社机飞中获得的利润为Q元，当
旅游团x人数的＝________时，旅行社从飞机票可中获得最大利润．
[针








时验收评见价课时验收评十(价三) (单
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