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α的函数称为幂函数，其中x是 ，α为常数．自变量
第四节 二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x
(2)5个常见幂函数的性质
2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式
(2)二次函数的图象与性质
幂函数的图象和性质
2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是( )
a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：x∈[1，
a]，根据区间的定义可知a>1.∵函数f(x)＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，x∈[1，
a]，并且函数f(x)的最小值为f(a)，又函数f(x)在对称轴x＝3左侧单调递减，右侧单调递增，∴10.30.3，即c0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且00)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.答案：f(x)＝x2－4x
3．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
[一“点”就过]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
．①④C ②．③D．①③
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一) 二次函数的图象及应用 [典例] (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足．
[方法技巧] 识别二次函数图象应学会“三看”
a＋])b2－ab＝a2＋b2＋ab>0，即c2>ab.答案：D
[针对训练]1.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )A．babC．b>a＋c，c2a＋c，c2>ab解析：由题图知，a>0，b>0，ca＋c，所以c2－ab＝[－(
m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－1,2]C．[－1,2] D．[2,5]解析：二次函数f(x)＝－x2＋4x的图象是开口向下的抛物线．最大值为4，且在x＝2处取得，而当x＝5或x＝－1时，f(x)＝－5.结合函数f(x)图象可知m的取值范围是[－1,2]．答案：C
2．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[
法1 二次函数的单调性及应用[例1] 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．[－3
,0C B．(－∞，－3])．[－2,0] D．[－3
,0]
重难点(二) 二次函数的单调性及应用 考
决质二函数图象与次性问题的2个注意点(1)抛物线的开口方向、对称轴
置位间、定区三义约者相制互，常见的题型
中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要
注意数形结合想思的应用，尤在是其合二次函数结该区间上的单调性
或图象求解．
解
法2 二次函数的最值[例2] 已知f(x)＝ax
2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．[解] (1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[
0，1]上单调递减,∴f(x)
min＝f(1)＝－2.
考
值间上二次函数最区问题的解法：抓住三“点一轴”数形结合，三点是指区间两个
端结和中点，一轴指的是对称轴，点合图象，根据函数的单调性及分
类讨论的思想．解求(2)二次函数在
闭区间上的最值主要有三种类型轴轴：区间定、定动区间定、轴定区间
动．无论哪种类型间解题的关键都是，象的对称轴与区图的位置关系，当
含有参数时，要依的图象的对称轴与据间区置位分关系进行讨类论．
(1)闭
2＋px＋q对任意的x均
果)数f(x函＝xf(1有＋x)＝f(1－x)，(么f(0)，f(－1)，f(1)的大小关系是( )A．f(1)
有f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数f(x)＝x
2＋px＋q的图象开口向上，且以直线x＝1为对称轴，∴函数f(x)在(－∞，1]上为减函数，∴f(1)
果对x∈[－31]，f(x),＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．
2．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如
t，＋1]，tt∈R，求函数f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[
t，＋1]，tt∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[
t，小＋1]上为减函数，所以最t值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1
开知思维)已放二次函数f(x)，能说明0若f(“)
唯一)
5．(强化
时验收评价见课时价收评验(八) (单
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课
第四节 二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x
(2)5个常见幂函数的性质
2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式
(2)二次函数的图象与性质
幂函数的图象和性质
2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是( )
a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：x∈[1，
a]，根据区间的定义可知a>1.∵函数f(x)＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，x∈[1，
a]，并且函数f(x)的最小值为f(a)，又函数f(x)在对称轴x＝3左侧单调递减，右侧单调递增，∴10.30.3，即c0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且00)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.答案：f(x)＝x2－4x
3．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
[一“点”就过]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
．①④C ②．③D．①③
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一) 二次函数的图象及应用 [典例] (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足．
[方法技巧] 识别二次函数图象应学会“三看”
a＋])b2－ab＝a2＋b2＋ab>0，即c2>ab.答案：D
[针对训练]1.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )A．babC．b>a＋c，c2a＋c，c2>ab解析：由题图知，a>0，b>0，ca＋c，所以c2－ab＝[－(
m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－1,2]C．[－1,2] D．[2,5]解析：二次函数f(x)＝－x2＋4x的图象是开口向下的抛物线．最大值为4，且在x＝2处取得，而当x＝5或x＝－1时，f(x)＝－5.结合函数f(x)图象可知m的取值范围是[－1,2]．答案：C
2．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[
法1 二次函数的单调性及应用[例1] 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．[－3
,0C B．(－∞，－3])．[－2,0] D．[－3
,0]
重难点(二) 二次函数的单调性及应用 考
决质二函数图象与次性问题的2个注意点(1)抛物线的开口方向、对称轴
置位间、定区三义约者相制互，常见的题型
中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要
注意数形结合想思的应用，尤在是其合二次函数结该区间上的单调性
或图象求解．
解
法2 二次函数的最值[例2] 已知f(x)＝ax
2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．[解] (1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[
0，1]上单调递减,∴f(x)
min＝f(1)＝－2.
考
值间上二次函数最区问题的解法：抓住三“点一轴”数形结合，三点是指区间两个
端结和中点，一轴指的是对称轴，点合图象，根据函数的单调性及分
类讨论的思想．解求(2)二次函数在
闭区间上的最值主要有三种类型轴轴：区间定、定动区间定、轴定区间
动．无论哪种类型间解题的关键都是，象的对称轴与区图的位置关系，当
含有参数时，要依的图象的对称轴与据间区置位分关系进行讨类论．
(1)闭
2＋px＋q对任意的x均
果)数f(x函＝xf(1有＋x)＝f(1－x)，(么f(0)，f(－1)，f(1)的大小关系是( )A．f(1)
有f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数f(x)＝x
2＋px＋q的图象开口向上，且以直线x＝1为对称轴，∴函数f(x)在(－∞，1]上为减函数，∴f(1)
果对x∈[－31]，f(x),＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．
2．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如
t，＋1]，tt∈R，求函数f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[
t，＋1]，tt∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[
t，小＋1]上为减函数，所以最t值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1
开知思维)已放二次函数f(x)，能说明0若f(“)
唯一)
5．(强化
时验收评价见课时价收评验(八) (单
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