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第四单元 圆的周长和面积例1：有一个半圆型的零件（如图）它的周长是多少？解析：通过观察半圆可知，半圆的周长=圆周长的一半+直径。圆周长=πd，则圆周长的一半=πd÷2，半圆的周长=πd÷2+d或πr+d，把直径8带入，圆周长的一半=3.14×8÷2，半圆的周长=3.14×8÷2+8。答案：3.14×8÷2+8 =25.12÷2+8 =12.56+8 =20.56（厘米）答：它的周长是20.56厘米。例2：将两个半径分别为3厘米，5厘米的半圆如下图放置，求涂色部分的周长？解析：由图意可知阴影部分的周长包括四部分，即圆O1周长的一半+圆O2周长的一半+线段C O1+线段AB=阴影部分的周长。即2×3.14×3÷2+2×3.14×5+3+（5×2-3）答案：2×3.14×3÷2+2×3.14×5+3+（5×2-3） =9.42+15.7+3+7 =35.12（厘米）例3：一个座钟的分针长10厘米，经过45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？解析：由题意可知分针的长度是分针的尖端走一圈所在圆的半径。因为分针走一圈是60分钟，而分针经过45分钟走了整个圆的45÷60=，所以根据圆的周长公式C=2πr，求出分针走一圈的路程，进而求出经过45分钟后走过的路程。答案：3.14×10×2÷（45÷60）=3.14×20×=47.1（厘米）答：这根分针的尖端所走的路程是47.1厘米。例4：求下面阴影部分的面积。解析：从图中可以看出阴影部分的周长包括两部分，即半圆的周长和一个以半第 1 页
圆的半径为直径的圆的周长。半圆的周长包括两部分，圆周长的一半和一条直径，即3.14×12÷2+12=30.84（厘米），小圆的周长=3.14×（12÷2）=18.84（厘米），然后把两部分相加即可。答案：3.14×12÷2+12+3.14×（12÷2）=49.68（厘米）。答：阴影部分的周长为49.68厘米。例5：一个半圆的周长是15.42厘米，这个半圆的直径是多少厘米？解析：从图中可以看出半圆的周长包括两部分，即圆周长的一半+直径。设圆的直径为a，则半圆的周长=πa÷2+a=a×(π÷2+1)，把半圆的周长代入，即可求出直径。答案：a×(π÷2+1)=15.42 a×2.57=15.42 a=15.42÷2.57 a=6答：这个半圆的直径是6厘米。例6：:用塑料绳把4个底面直径为8厘米的啤酒瓶捆扎在一起（如图）捆两圈至少需要多少厘米的绳子？（接头处用20厘米）解析：根据图形分析：捆一圈所需要的绳长是四个直径的长+4个圆周长+接头部分的长，也就是四个直径的长+圆周长+接头部分的长，据此列式解答即可。解答：8×4+3.14×8+20 =32+25.12+20 =77.12（厘米）答：需要绳子77.12厘米。例7：一个正方形养鱼池边长是20米，中间有一个圆形小岛，半径4米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米？解析：从问题入手养鱼池水域的面积=正方形鱼池的面积—中间圆形小岛的面积。即根据正方形的面积=边长×边长求出正方形鱼池的面积，20×20=400（平方米），根据圆的面积公式=πr²求出小岛的面积，3.14×4²=50.24（平方米），然后用正方形鱼池的面积—中间圆形小岛的面积，即可400-50.24=349.76（平方米）。答案：20×20—3.14×4²=349.76（平方米）答：这个养鱼池的水域面积是349.76平方米。例8：如图1：一个正方形的面积是10平方米，在它里面画一个最大的圆，求圆的面积？ 图1 图2 图3解析：由图可知在一个正方形里画一个最大的圆，那么最大圆的直径就是正方形的边长。解法一：如图2，根据圆面积的公式s=πr²，即要求圆的面积，应先求出圆的半径，因为d=2r=a，所以r=，则圆面积S=3.14××，把正方形的面积10代入直接即可求出。答案：S=3.14××第 2 页
=3.14×a²÷4 =3.14×10÷4 =7.85（平方米）。解法二：如图3，把正方形平均分成4份，每份的面积就是10÷4=2.5（平方米）而每一份都是一个边长为r的正方形，它的面积是r²，所以r²=10÷4=2.5（平方米）根据圆的面积s=πr²即可求出圆的面积，s=3.14×（10÷4） =7.85（平方米）例9：一个半圆形草坪的周长是128.5米，这个草坪的占地面积是多少平方米？解析：根据半圆的周长=圆周长的一半+直径，求出半圆形草坪的半径，即半圆的周长=πr+2r=r×(π+2),再根据圆的面积公式s=πr²求出圆的面积，再除以2,即可。答案：128.5÷（3.14+2）=25（米） 3.14×25²÷2=981.25（平方米）答：这个草坪的占地面积是981.25平方米.例10：用三根长31.4厘米的铁丝，分别围成正方形、长方形和圆，这三个图形的面积谁大？解析：根据题意先把三个图形的面积求出来再比较。根据正方形周长公式=边长×4，那么边长=周长÷4=31.4÷4=7.85厘米，面积是7.85×7.85=61.6225（平方厘米）；围成长方形时，长和宽的差距越小，面积越大，因此围成正方形的面积总比围成的长方形面积大；如果围成圆，圆的面积=3.14×(3.14÷3.14÷2)=78.5(平方米)答案：31.4÷4=7.85 7.85×7.85=61.6225（厘米）3.14×(3.14÷3.14÷2)=78.5(平方米) 78.5＞61.6225，所以当正方形、长方形和圆的周长相等的情况下，圆的面积最大。例11：下右图是一块长20米，宽15米的长方形草地，在ABC（C在草地的中央）三点各用一根长4米的绳子栓一只羊。这三只羊最多各能在多大面积的草地上吃草？解析：从问题入手，要想求出这三只羊最多各能在多大面积的草地上吃草，要先判断这三只羊吃草时所形成的图形的形状。如下图：点A的羊所形成的吃草的形状是以4米长的绳子为半径的圆的面积的；点B的羊所形成的吃草的形状是以4米长的绳子为半径的半圆的面积：点C的羊所形成的吃草的形状是以4米长的绳子为半径的圆的面积。根据圆的面积公式S=πr²求出各自的面积即可。解答 ：点A的羊所吃到的面积：3.14×4²÷4=12.56（平方米）；点B的羊所吃到的面积：3.14×4²÷2=25.12（平方米）；点C的羊所吃到的面积：3.14×4²=50.24（平方米）。答：点A的羊能在12.56平方米的草地上吃草；点B的羊能在25.12平方米的草地上吃草；点C的羊能在50.24平方米的草地上吃草。例12：如图，阴影部分的面积是50平方厘米，求环形的面积？解析：从图中可以看出阴影部分的面积=大正方形的面积—小正方形的面积。大正方形的边长是外圆的半径，小正方形的边长是内圆的半径。由此可得，阴第 3 页
影部分的面积=R²-r²。然后根据环形的面积公式S=π（R²-r²）即可求出环形的面积。解答：3.14×50=157（平方厘米）。答：环形的面积是157平方厘米。例13：求阴影部分的面积解析：给图添加辅助线，如下图。把右下边的阴影部分①补到左下边②的位置，把右下边的阴影部分③补到左上边④的位置，这样求阴影部分的面积就相当于求半径是4厘米的圆的面积，减去底是4厘米，高是4厘米的三角形的面积，然后根据圆与三角形的面积公式解答即可。3.14×4²÷4-4×4÷2=12.56-8=4.56（平方厘米）例14：求阴影部分的面积。解析：从图中可以看出用大正方形的面积-空白部分的面积=阴影部分的面积。大正方形中4个空白部分可以组合成一个以大正方形边长为直径的圆。因此求阴影部分的面积列式为。解答：2×2-3.14×（2÷2）² =4-3.14 =0.86（平方厘米）第 4 页
圆的半径为直径的圆的周长。半圆的周长包括两部分，圆周长的一半和一条直径，即3.14×12÷2+12=30.84（厘米），小圆的周长=3.14×（12÷2）=18.84（厘米），然后把两部分相加即可。答案：3.14×12÷2+12+3.14×（12÷2）=49.68（厘米）。答：阴影部分的周长为49.68厘米。例5：一个半圆的周长是15.42厘米，这个半圆的直径是多少厘米？解析：从图中可以看出半圆的周长包括两部分，即圆周长的一半+直径。设圆的直径为a，则半圆的周长=πa÷2+a=a×(π÷2+1)，把半圆的周长代入，即可求出直径。答案：a×(π÷2+1)=15.42 a×2.57=15.42 a=15.42÷2.57 a=6答：这个半圆的直径是6厘米。例6：:用塑料绳把4个底面直径为8厘米的啤酒瓶捆扎在一起（如图）捆两圈至少需要多少厘米的绳子？（接头处用20厘米）解析：根据图形分析：捆一圈所需要的绳长是四个直径的长+4个圆周长+接头部分的长，也就是四个直径的长+圆周长+接头部分的长，据此列式解答即可。解答：8×4+3.14×8+20 =32+25.12+20 =77.12（厘米）答：需要绳子77.12厘米。例7：一个正方形养鱼池边长是20米，中间有一个圆形小岛，半径4米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米？解析：从问题入手养鱼池水域的面积=正方形鱼池的面积—中间圆形小岛的面积。即根据正方形的面积=边长×边长求出正方形鱼池的面积，20×20=400（平方米），根据圆的面积公式=πr²求出小岛的面积，3.14×4²=50.24（平方米），然后用正方形鱼池的面积—中间圆形小岛的面积，即可400-50.24=349.76（平方米）。答案：20×20—3.14×4²=349.76（平方米）答：这个养鱼池的水域面积是349.76平方米。例8：如图1：一个正方形的面积是10平方米，在它里面画一个最大的圆，求圆的面积？ 图1 图2 图3解析：由图可知在一个正方形里画一个最大的圆，那么最大圆的直径就是正方形的边长。解法一：如图2，根据圆面积的公式s=πr²，即要求圆的面积，应先求出圆的半径，因为d=2r=a，所以r=，则圆面积S=3.14××，把正方形的面积10代入直接即可求出。答案：S=3.14××第 2 页
=3.14×a²÷4 =3.14×10÷4 =7.85（平方米）。解法二：如图3，把正方形平均分成4份，每份的面积就是10÷4=2.5（平方米）而每一份都是一个边长为r的正方形，它的面积是r²，所以r²=10÷4=2.5（平方米）根据圆的面积s=πr²即可求出圆的面积，s=3.14×（10÷4） =7.85（平方米）例9：一个半圆形草坪的周长是128.5米，这个草坪的占地面积是多少平方米？解析：根据半圆的周长=圆周长的一半+直径，求出半圆形草坪的半径，即半圆的周长=πr+2r=r×(π+2),再根据圆的面积公式s=πr²求出圆的面积，再除以2,即可。答案：128.5÷（3.14+2）=25（米） 3.14×25²÷2=981.25（平方米）答：这个草坪的占地面积是981.25平方米.例10：用三根长31.4厘米的铁丝，分别围成正方形、长方形和圆，这三个图形的面积谁大？解析：根据题意先把三个图形的面积求出来再比较。根据正方形周长公式=边长×4，那么边长=周长÷4=31.4÷4=7.85厘米，面积是7.85×7.85=61.6225（平方厘米）；围成长方形时，长和宽的差距越小，面积越大，因此围成正方形的面积总比围成的长方形面积大；如果围成圆，圆的面积=3.14×(3.14÷3.14÷2)=78.5(平方米)答案：31.4÷4=7.85 7.85×7.85=61.6225（厘米）3.14×(3.14÷3.14÷2)=78.5(平方米) 78.5＞61.6225，所以当正方形、长方形和圆的周长相等的情况下，圆的面积最大。例11：下右图是一块长20米，宽15米的长方形草地，在ABC（C在草地的中央）三点各用一根长4米的绳子栓一只羊。这三只羊最多各能在多大面积的草地上吃草？解析：从问题入手，要想求出这三只羊最多各能在多大面积的草地上吃草，要先判断这三只羊吃草时所形成的图形的形状。如下图：点A的羊所形成的吃草的形状是以4米长的绳子为半径的圆的面积的；点B的羊所形成的吃草的形状是以4米长的绳子为半径的半圆的面积：点C的羊所形成的吃草的形状是以4米长的绳子为半径的圆的面积。根据圆的面积公式S=πr²求出各自的面积即可。解答 ：点A的羊所吃到的面积：3.14×4²÷4=12.56（平方米）；点B的羊所吃到的面积：3.14×4²÷2=25.12（平方米）；点C的羊所吃到的面积：3.14×4²=50.24（平方米）。答：点A的羊能在12.56平方米的草地上吃草；点B的羊能在25.12平方米的草地上吃草；点C的羊能在50.24平方米的草地上吃草。例12：如图，阴影部分的面积是50平方厘米，求环形的面积？解析：从图中可以看出阴影部分的面积=大正方形的面积—小正方形的面积。大正方形的边长是外圆的半径，小正方形的边长是内圆的半径。由此可得，阴第 3 页
影部分的面积=R²-r²。然后根据环形的面积公式S=π（R²-r²）即可求出环形的面积。解答：3.14×50=157（平方厘米）。答：环形的面积是157平方厘米。例13：求阴影部分的面积解析：给图添加辅助线，如下图。把右下边的阴影部分①补到左下边②的位置，把右下边的阴影部分③补到左上边④的位置，这样求阴影部分的面积就相当于求半径是4厘米的圆的面积，减去底是4厘米，高是4厘米的三角形的面积，然后根据圆与三角形的面积公式解答即可。3.14×4²÷4-4×4÷2=12.56-8=4.56（平方厘米）例14：求阴影部分的面积。解析：从图中可以看出用大正方形的面积-空白部分的面积=阴影部分的面积。大正方形中4个空白部分可以组合成一个以大正方形边长为直径的圆。因此求阴影部分的面积列式为。解答：2×2-3.14×（2÷2）² =4-3.14 =0.86（平方厘米）第 4 页
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