复数的三角表示【教学重难点】【教学目标】【核心素养】复数的三角形式了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系数学抽象复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义数学抽象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？2．复数的辐角、辐角的主值是什么？3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？二、基础知识1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨 （1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．（2）复数0的辐角是任意的．（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.（4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．2．复数三角形式的乘、除运算若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则（1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos( θ1＋ θ2) ＋ isin( θ1＋ θ2)]．（2）＝＝[cos( θ1－ θ2) ＋ isin( θ1－ θ2)]．即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．三、合作探究1．复数的代数形式与三角形式的互化 1 / 4


角度一 代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式：（1）＋i；（2）－i.【解】（1）r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，所以cos θ＝，即θ＝，所以＋i＝2.（2）r＝＝2，cos θ＝，又因为－i对应的点位于第四象限，所以θ＝.所以－i＝2.复数的代数形式化三角形式的步骤（1）先求复数的模．（2）决定辐角所在的象限．（3）根据象限求出辐角．（4）求出复数的三角形式．[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度二 三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．（1）4；（2）(cos 60°＋isin 60°)；（3）2.【解】（1）复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.4＝4cos ＋4isin ＝4×＋4×i＝2＋2i.（2）(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i＝＋i.（3）2＝2＝2.所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.2＝2cos π＋2isin π＝2×＋2×i＝1－i.复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）． 2．复数三角形式的乘、除运算计算： 2 / 4


（1）8×4；（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；（3）4÷.【解】（1）8×4＝32＝32＝32＝32＝16＋16i.（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]＝(cos 75°＋isin 75°)＝＝＋i＝＋i.（3）4÷＝4(cos 0＋isin 0)÷＝4＝2－2i.（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍． 3．复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．【解】因为3－i＝2＝2所以2×＝2＝2＝2＝3＋i，2×＝2＝2＝－2i.故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它 3 / 4


的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2． 四、课堂检测1．复数1－i的辐角的主值是( )A．π B．πC．π D．解析：选A．因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．答案：93．arg(－2i)＝________．答案：π4．计算：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷.解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)＝cos 90°＋isin 90°＝i.（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷＝2÷＝＝＝－＋i. 4 / 4