复数的三角表示【学习重难点】【学习目标】【核心素养】复数的三角形式了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系数学抽象复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？2．复数的辐角、辐角的主值是什么？3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？二、合作探究1．复数的代数形式与三角形式的互化角度一 代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式：（1）＋i；（2）－i.【解】（1）r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，所以cos θ＝，即θ＝，所以＋i＝2.（2）r＝＝2，cos θ＝，又因为－i对应的点位于第四象限，所以θ＝.所以－i＝2.角度二 三角形式化为代数形式 1 / 4


分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．（1）4；（2）(cos 60°＋isin 60°)；（3）2.【解】（1）复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.4＝4cos ＋4isin ＝4×＋4×i＝2＋2i.（2）(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i＝＋i.（3）2＝2＝2.所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.2＝2cos π＋2isin π＝2×＋2×i＝1－i.2．复数三角形式的乘、除运算计算：（1）8×4；（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；（3）4÷.【解】（1）8×4＝32＝32＝32＝32＝16＋16i.（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] 2 / 4


＝(cos 75°＋isin 75°)＝＝＋i＝＋i.（3）4÷＝4(cos 0＋isin 0)÷＝4＝2－2i.3．复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．【解】因为3－i＝2＝2所以2×＝2＝2＝2＝3＋i，2×＝2＝2＝－2i.故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.【学习小结】1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．2．复数三角形式的乘、除运算若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则（1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos( θ1＋ θ2) ＋ isin( θ1＋ θ2)]． 3 / 4


（2）＝＝[cos( θ1－ θ2) ＋ isin( θ1－ θ2)]．即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．【精炼反馈】1．复数1－i的辐角的主值是( )A．π B．πC．π D．解析：选A．因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．答案：93．arg(－2i)＝________．答案：π4．计算：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷.解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)＝cos 90°＋isin 90°＝i.（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷＝2÷＝＝＝－＋i. 4 / 4