二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察。研探。二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题 1 / 6


2b
xx>x或x0）的解集
a
xx0（a>0）的求解的算法。（1）解ax
2+bx+c=0；（2）判断开口方向；（3）根据开口方向和两根画草图；（4）不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式0（2）
2
9x−6x+1> 2 / 06判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x10（a>0）的解集
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：2．一元二次不等式ax


2
−x+2x−3>0【答案】（1）
{x3x}（2）
1
xx≠
{|}（3）
3
∅解题方法（解不等式）（1）解ax2+bx+c=0；（2）判断开口方向；（3）根据开口方向和两根画草图；（4）不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式0 ；（2)）3x2−7x≤10 ；（3）
2
−x+4x−4或}（2）
10
xx≤−3，或x≥
{|}（3）
3
{x|x≠2}（4）
x{|x=122题型二一元二次不等式恒成立问题例}（1）如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________。（2）已知关
22
axbxc=++0acxbx++>0
-2a1
k�0k>1
{xx|23-0
�
22
axaxa>--06axx0
故答案为：。（2）
k=080�
当时，不等式为恒成立，符合题意；当时，
2
2
+=D-�360)8(4kkk
k>0xkkkx�-++860x�R
若不等式对任意恒成立，，则解得；当时，不等式不能对
01x--0a=
则实数__________。2．对
2
63)2(3)0(xxaa----6000.移项整
理，得x2-110x+30000，方程有两个实数根
于，x2-方程10x+3000=011=50，2=60.画出二次函数y=x2-110x+3000的图像，结合图象得不等式x2-110x+3000<0的解集为{x|50原不等式的解集为{x|50为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家
工厂能够获得6000元以上的收益。解题方法（一元二次不等式实际应用问题）（1）根据题
意列出相应的一元二次函数；（2）由题
意（3）求出解集；（4列出相应一元二次不等式；）结合实际情况写出最终结果。跟踪训练三1．用可
围成32m墙的砖头，沿一面旧墙（旧墙足够长）围成猪舍四间（面积大小相等的
长方形）。应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？【答案】
16
m
当长方形一边（垂直于旧墙）为，5另一边为4m时猪舍面积最大，最。 大值5 / 6为
256
2
m
5
y=-2x2+220x若


325-x
��
m
��
设长方形的一边（垂直于旧墙）长为x m，则另一边长为，总面积，，
4
��
3216256
2
0<2()
max
xxxSx-=-=+325)5(32
555
当时，。答：
16
m
当长方形一边（垂直于旧墙）为，5另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值。【课为
256
2
m
5
堂小结】让学生
总结本节课所学主要知识及解题技巧【
板书设计【教学】反思】本节通过画图，看图，分析图，小组
讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参
与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。 6 / 62.3 二次函数与一元二次方程、不等式三个二次关系 例1 例2 例32.解一元二次不等式
【解析】